【正文】 ,只要 AP39。O≥ AO. ∴ AP39。tan 60176。. 在 Rt△ ABO中 ,AO=? =? =3? km.? (11分 ) ∴ ? AP=? (AOOP)=? (3? 3? )=(3? 9)km. ∴ P39。=MP39。1,關(guān)于 AC的對(duì)稱點(diǎn)為 P39。的周長為 P39。2=? AP39。最短 ,OA與 ? 交于 點(diǎn) P,此時(shí)使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長 ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長 ,進(jìn)而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 12 3 ︵難點(diǎn)分析 本題難點(diǎn)在于第 (3)問如何確定 P點(diǎn)的位置及何時(shí) PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題 ,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段 OA的長度求出 AP的最小值 . 8.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí) ,經(jīng)歷了如下過程 : 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過點(diǎn) (1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0, 1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 . 抽象感悟 我們定義 :對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心 ,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 的拋物線 y39。=bx22bx+a2(b≠ 0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) ,且恰好是它們的頂點(diǎn) , 求 a,b的值及衍生中心的坐標(biāo) 。關(guān)于點(diǎn) (0,k+n2)的衍生拋物線為 yn,其頂點(diǎn)為 An。=(x1)2+2m6. 由 y=(x+1)2+6,y39。的頂點(diǎn)為 (1,12). ∴ 兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為 (0,6). ② ∵ y=ax2+2axb=a(x+1)2ab, ∴ y1=a(x1)2+2k+2+a+b,頂點(diǎn) A1為 (1,2k+2+a+b), y2=a(x1)2+2k+8+a+b,頂點(diǎn) A2為 (1,2k+8+a+b),…… , yn=a(x1)2+2k+2n2+a+b,頂點(diǎn) An為 (1,2k+2n2+a+b), yn+1=a(x1)2+2k+2(n+1)2+a+b,頂點(diǎn) An+1為 (1,2k+2(n+1)2+a+b), ∴ AnAn+1=[2k+2(n+1)2+a+b](2k+2n2+a+b)=2(n+1)22n2=4n+2. 9.(2022吉林 ,26,10分 )《 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 》 拓展學(xué)習(xí)片段展示 : 【 問題 】 如圖① ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=a(x2)2? 經(jīng)過原點(diǎn) O,與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 A,則 a= . 【 操作 】 將圖①中拋物線在 x軸下方的部分沿 x軸折疊到 x軸上方 ,將這部分圖象與原拋物線 剩余部分的圖象組成的新圖象記為 G,如圖② .直接寫出圖象 G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式 . 【 探究 】 在圖②中 ,過點(diǎn) B(0,1)作直線 l平行于 x軸 ,與圖象 G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn) C,D,E, F,如圖③ .求圖象 G在直線 l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù) y隨 x增大而增大時(shí) x的取值范圍 . 【 應(yīng)用 】 P是圖③中圖象 G上一點(diǎn) ,其橫坐標(biāo)為 m,連接 PD,△ PDE的面積不小于 1時(shí) m的取值范圍 . ? 43解析 【 問題 】 把 (0,0)代入 y=a(x2)2? ,得 4a? =0,∴ a=? .? (1分 ) 43 43 13【 操作 】 當(dāng) x≤ 0或 x≥ 4時(shí) ,y=? (x2)2? 。 當(dāng) y=2時(shí) ,? (m2)2? =2,解得 m=2177。111=9。 F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)247。, 則 t39。 (2)☉ O的半徑為 ? ,點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (m,3).若在☉ O上存在一點(diǎn) N,使得點(diǎn) M,N的“相關(guān)矩形”為 正方形 ,求 m的取值范圍 . 2解析 (1)① 如圖 ,矩形 AEBF為點(diǎn) A(1,0),B(3,1)的“相關(guān)矩形” . ? 可得 AE=2,BE=1. ∴ 點(diǎn) A,B的“相關(guān)矩形”的面積為 2. ② 由點(diǎn) A(1,0),點(diǎn) C在直線 x=3上 ,點(diǎn) A,C的“相關(guān)矩形” AECF為正方形 ,可得 AE=2. ? 當(dāng)點(diǎn) C在 x軸上方時(shí) ,CE=2,可得 C(3,2). ∴ 直線 AC的表達(dá)式為 y=x1. 當(dāng)點(diǎn) C在 x軸下方時(shí) ,CE=2,可得 C(3,2). ∴ 直線 AC的表達(dá)式為 y=x+1. (2)由點(diǎn) M,N的“相關(guān)矩形”為正方形 , 可設(shè)直線 MN為 y=x+b或 y=x+b. (i)當(dāng)直線 MN為 y=x+b時(shí) ,可得 m=3b. ? 由圖可知 ,當(dāng)直線 MN平移至與☉ O相切 ,且切點(diǎn)在第四象限時(shí) ,b取得最小值 ,此時(shí)直線 MN記為 M1N1,其中 N1為切點(diǎn) ,T1為直線 M1N1與 y軸的交點(diǎn) . ? ∵ △ ON1T1為等腰直角三角形 ,ON1=? , ∴ OT1=2,∴ b的最小值為 2. ∴ m的最大值為 5. 當(dāng)直線 MN平移至與☉ O相切 ,且切點(diǎn)在第二象限時(shí) ,b取得最大值 ,此時(shí)直線 MN記為 M2N2,其中 N 22為切點(diǎn) ,T2為直線 M2N2與 y軸的交點(diǎn) .同理可得 ,b的最大值為 2,m的最小值為 1. ∴ m的取值范圍為 1≤ m≤ 5. (ii)當(dāng)直線 MN為 y=x+b時(shí) ,同理可得 ,m的取值范圍為 5≤ m≤ 1. 綜上所述 ,m的取值范圍為 5≤ m≤ 1或 1≤ m≤ 5. 13.(2022江西 ,22,10分 )【 圖形定義 】 如圖 ,將正 n邊形繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 (2)如圖 2,求證 :∠ OAB=∠ OAE39。=60176。=60176。=60176。,AD=AD39。=60176。=60176。=60176。,AE=AE39。,CD39。,E39?！?△ ABC, ∴ AD39。=AC,得 ∠ AD39。,∴ OC=OD39。,即 BO=E39。O, ∴∠ OAB=∠ OAE39。=AB,∠ E39。=BC, ∴ △ AE39。E39。的垂直平分線上 ,∠ AD39。,∴ OC=OD39。AO, ∴∠ BAC∠ CAO=∠ E39。.? (5分 ) (3)15176。 (2)在△ PEF中 ,M為 EF中點(diǎn) ,P為動(dòng)點(diǎn) . ① 求證 :PE2+PF2=2(PM2+EM2)。, ∴∠ OCE+∠ OCF=90176。, ∴ ?CEDF是矩形 , ∵ M是 EF的中點(diǎn) , ∴ M是 CD的中點(diǎn) ,且 MC=EM. 由①中的結(jié)論可得 在△ PEF中 ,有 PE2+PF2=2(PM2+EM2), 在△ PCD中 ,有 PC2+PD2=2(PM2+CM2). ∵ MC=EM, ∴ PC2+PD2=PE2+PF2. ∵ PE=PF=3, ∴ PC2+PD2=18. ∵ 1PD2, 1417∴ 1PD24, ∴ 118PC24, ∴ 14PC217. ∵ PC0, ∴ ? PC? . 圖③ 16.(2022重慶 ,23,10分 )如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù) 字 ,與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同 ,那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧 數(shù)” .例如自然數(shù) 12 321,從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是 :1,2,3,2,1,從個(gè)位到最高位依 次排出的一串?dāng)?shù)字仍是 :1,2,3,2,1,因此 12 321是一個(gè)“和諧數(shù)” .再如 22,545,3 883,345 543,… , 都是“和諧數(shù)” . (1)請(qǐng)你直接寫出 3個(gè)四位“和諧數(shù)” 。,點(diǎn) P為 ∠ MON的平分線上一點(diǎn) ,以 P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線 OM,ON交于 A,B兩點(diǎn) ,且 ∠ APB=135176。,P是 ∠ MON的平分線上一點(diǎn) , ∴∠ AOP=∠ BOP=? ∠ MON=45176。,∴∠ APO+∠ OPB=135176。? α, 即 ∠ APB=180176。sin α. ∵ OP=2,∴ S△ AOB=2sin α.? (7分 ) (3)設(shè)點(diǎn) C(a,b),則 ab=3, 過點(diǎn) C作 CH⊥ OA,垂足為點(diǎn) H,e2 12 121212 12 12∴ △ ACH≌ △ ABO, ∴ OB=CH=b,OA=AH=? a, ∴ OA1