【正文】 n的所有這種分解中 ,如果 p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小 ,我們就稱 pq是 n的最佳 分解 ,并規(guī)定 :F(n)=? .例如 12可以分解成 112,26或 34,因?yàn)?1216243,所以 34是 12的最 佳分解 ,所以 F(12)=? . (1)如果一個(gè)正整數(shù) a是另外一個(gè)正整數(shù) b的平方 ,我們稱正整數(shù) a是完全平方數(shù) . 求證 :對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù) m,總有 F(m)=1。. ∵∠ DAP=∠ DAD39。. ∵∠ EAP=∠ EAE39。=AB,∠ E39。D39。≌ △ ABC, ∴ AD39。∠ D39。 (2)已知一個(gè)能被 11整除的三位“和諧數(shù)” ,設(shè)其個(gè)位上的數(shù)字為 x(1≤ x≤ 4,x為自然數(shù) ),十位 上的數(shù)字為 y,求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式 . 解析 (1)寫出 3個(gè)滿足條件的數(shù)即可 . (千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字相同 ,百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同 ) 猜想 :任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能被 11整除 . 設(shè)一個(gè)四位“和諧數(shù)”個(gè)位上的數(shù)字為 a(1≤ a≤ 9且 a為自然數(shù) ),十位上的數(shù)字為 b(0≤ b≤ 9且 b為自然數(shù) ),則這個(gè)四位“和諧數(shù)”可表示為 1 000a+100b+10b+a. ∵ 1 000a+100b+10b+a=1 001a+110b=1191a+1110b=11(91a+10b), ∴ 1 000a+100b+10b+a能被 11整除 , 即任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能被 11整除 .? (5分 ) (2)∵ 這個(gè)三位“和諧數(shù)”的個(gè)位上的數(shù)字為 x,十位上的數(shù)字為 y, ∴ 這個(gè)三位“和諧數(shù)”可表示為 100x+10y+x.? (6分 ) ∵ 100x+10y+x=99x+11y+2xy=11(9x+y)+(2xy), 又這個(gè)三位“和諧數(shù)”能被 11整除 ,且 x,y是自然數(shù) , ∴ 2xy能被 11整除 .? (8分 ) ∵ 1≤ x≤ 4,0≤ y≤ 9,∴ 2xy=0. ∴ y與 x的函數(shù)關(guān)系式為 y=2x(1≤ x≤ 4且 x為自然數(shù) ).? (10分 ) 17.(2022浙江寧波 ,25,12分 )如圖 1,點(diǎn) P為 ∠ MON的平分線上一點(diǎn) ,以 P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別 與射線 OM,ON交于 A,B兩點(diǎn) ,如果 ∠ APB繞點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足 OAAG=? OBOB, ∴∠ APB是 ∠ MON的智慧角 .? (3分 ) ? (2)∵∠ APB是 ∠ MON的智慧角 , ∴ OA. (2)① 證明 :過點(diǎn) P作 PH⊥ EF于 H, (i)若點(diǎn) H在線段 EF上 ,如圖① . ? 圖① ∵ M為 EF中點(diǎn) , ∴ EM=FM=? EF. 根據(jù)勾股定理可得 PE2+PF22PM2=PH2+EH2+PH2+HF22PM2 =2PH2+EH2+HF22(PH2+MH2) =EH2MH2+HF2MH2 =(EH+MH)(EHMH)+(HF+MH)(HFMH) 12=EM(EH+MH)+MF(HFMH) =EM(EH+MH)+EM(HFMH) =EM(EH+MH+HFMH) =EM的垂直平分線上 , ∴ 直線 AO是線段 CD39。,E39。, ∴∠ OD39。AO, ∴ AP=AO. ∵∠ PAO=60176。AO, ∴ AP=AO. ∵∠ PAO=60176。 (4)圖 n中 ,“疊弦三角形” 等邊三角形 (填“是”或“不是” )。111=14.? (4分 ) (2)∵ s,t都是“相異數(shù)” , ∴ F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)247。(2,1)。2的長(zhǎng) ,根據(jù) P39。,OB=OC, ∴ BO=BC=3? km,∠ OBC=60176。,∴ P39。2. 即△ P39。F39。=MP39。 (2)如果一個(gè)正整數(shù) a是另一個(gè)正整數(shù) b的平方 ,則稱正整數(shù) a是完全平方數(shù) .若四位數(shù) m為“極 數(shù)” ,記 D(m)=? .求滿足 D(m)是完全平方數(shù)的所有 m. 33m解析 (1)4 158,6 237,9 900.? (2分 ) 任意一個(gè)“極數(shù)”是 99的倍數(shù) .理由 :設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ),則十位上的數(shù)字為 9x,個(gè)位上的數(shù)字為 為 n=1 000x+100y+10(9x)+9y. 化簡(jiǎn) ,得 n=990x+99y+99=99(10x+y+1). ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ,∴ 10x+y+1為整數(shù) . ∴ 任意一個(gè)“極數(shù)”都是 99的倍數(shù) .? (4分 ) (2)由 (1)可知 ,設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” m的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y 為整數(shù) ),則“極數(shù)” m可表示為 m=99(10x+y+1). ∴ D(m)=? =3(10x+y+1).? (5分 ) ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9, ∴ 11≤ 10x+y+1≤ 100. ∴ 33≤ 3(10x+y+1)≤ 300. m∵ D(m)為完全平方數(shù)且 D(m)是 3的倍數(shù) , ∴ D(m)=36或 81或 144或 225.? (6分 ) 當(dāng) D(m)=36時(shí) ,得 10x+y=11,解得 x=1,y= ,m=1 188. 當(dāng) D(m)=81時(shí) ,得 10x+y=26,解得 x=2,y= ,m=2 673. 當(dāng) D(m)=144時(shí) ,得 10x+y=47,解得 x=4,y= ,m=4 752. 當(dāng) D(m)=225時(shí) ,得 10x+y=74,解得 x=7,y= ,m=7 425. 綜上 ,滿足條件的 m為 1 188,2 673,4 752,7 425.? (10分 ) 思路分析 (1)設(shè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y,則極數(shù) n=1 000x+100y+10(9x)+9y, 化簡(jiǎn)得 n=99(10x+y+1),顯然是 99的倍數(shù) 。 (2)記函數(shù) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象為圖形 d(G,△ ABC)=1,直接寫出 k的取值范圍 。 P39。+P39。,AP39。1P39。(2)當(dāng) PM⊥ AB時(shí) ,PM有最大值 ,根據(jù)垂徑定理可 得 AM=? AB=12,再根據(jù)勾股定理求得 OM=5,進(jìn)而由 PM≤ OM+OP=OM+OP39。2最短 ,只要 AP39。=bx22bx+a2的頂點(diǎn)為 (1,b+a2), 由兩拋物線的交點(diǎn)恰好是它們的頂點(diǎn) ,得 a23a=0,a2+a+4b=0, 解得 a1=0,b1=0(舍去 ),a2=3,b2=3. ∴ 拋物線 y的頂點(diǎn)為 (1,0),拋物線 y39。 (2)如果一個(gè)兩位正整數(shù) t,t=10x+y(1≤ x≤ y≤ 9,x,y為自然數(shù) ),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù) 得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為 18,那么我們稱這個(gè)數(shù) t為“吉祥數(shù)” .求所有 “吉祥數(shù)”中 F(t)的最大值 . pq34解析 (1)證明 :對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù) m,設(shè) m=n2(n為正整數(shù) ). ∵ |nn|=0,∴ nn是 m的最佳分解 . ∴ 對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù) m,總有 F(m)=? =1.? (3分 ) (2)設(shè)交換 t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為 t39?！?PAD39?！?PAE39。=∠ B=108176。OD39。=AC,∠ AD39。AO, 即 ∠ OAB=∠ OAE39。OB=OP2,我們就把 ∠ APB叫 做 ∠ MON的智慧角 . ? (1)如圖 2,已知 ∠ MON=90176。OAsin α=? OP2, ∴∠ OAP=∠ OPB,∴ △ AOP∽ △ POB,? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ OP2=OA,即 ∠ ECF=90176。, ∴ 點(diǎn) O在線段 CD39。=∠ B=108176。C=∠ ACD39。, ∴ △ EAP≌ △ E39。,∴ △ DAP≌ △ D39。 【 歸納猜想 】 (3)圖 圖 2中“疊弦角”的度數(shù)分別為 , 。 F(617)=(167+716+671)247?！?(n為正整數(shù) ).求 AnAn+1的長(zhǎng) (用含 n的式子表示 ). ? (備用圖 ) 解析 (1)4。1P39。=3? km. ∵∠ BOC=60176。2=2∠ BAC=120176。1P39。E39。,連接 OA,OP.