【正文】 sin α. ∵ OP=2,∴ S△ AOB=2sin α.? (7分 ) (3)設(shè)點(diǎn) C(a,b),則 ab=3, 過點(diǎn) C作 CH⊥ OA,垂足為點(diǎn) H,e2 12 121212 12 12∴ △ ACH≌ △ ABO, ∴ OB=CH=b,OA=AH=? a, ∴ OA,∴∠ APO+∠ OPB=135176。,點(diǎn) P為 ∠ MON的平分線上一點(diǎn) ,以 P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線 OM,ON交于 A,B兩點(diǎn) ,且 ∠ APB=135176。, ∴∠ OCE+∠ OCF=90176。.? (5分 ) (3)15176。,∴ OC=OD39。E39。=AB,∠ E39。,即 BO=E39。=AC,得 ∠ AD39。,E39。,AE=AE39。=60176。,AD=AD39。=60176。 (2)如圖 2,求證 :∠ OAB=∠ OAE39。, 則 t39。111=9。的頂點(diǎn)為 (1,12). ∴ 兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為 (0,6). ② ∵ y=ax2+2axb=a(x+1)2ab, ∴ y1=a(x1)2+2k+2+a+b,頂點(diǎn) A1為 (1,2k+2+a+b), y2=a(x1)2+2k+8+a+b,頂點(diǎn) A2為 (1,2k+8+a+b),…… , yn=a(x1)2+2k+2n2+a+b,頂點(diǎn) An為 (1,2k+2n2+a+b), yn+1=a(x1)2+2k+2(n+1)2+a+b,頂點(diǎn) An+1為 (1,2k+2(n+1)2+a+b), ∴ AnAn+1=[2k+2(n+1)2+a+b](2k+2n2+a+b)=2(n+1)22n2=4n+2. 9.(2022吉林 ,26,10分 )《 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 》 拓展學(xué)習(xí)片段展示 : 【 問題 】 如圖① ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=a(x2)2? 經(jīng)過原點(diǎn) O,與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 A,則 a= . 【 操作 】 將圖①中拋物線在 x軸下方的部分沿 x軸折疊到 x軸上方 ,將這部分圖象與原拋物線 剩余部分的圖象組成的新圖象記為 G,如圖② .直接寫出圖象 G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式 . 【 探究 】 在圖②中 ,過點(diǎn) B(0,1)作直線 l平行于 x軸 ,與圖象 G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn) C,D,E, F,如圖③ .求圖象 G在直線 l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù) y隨 x增大而增大時(shí) x的取值范圍 . 【 應(yīng)用 】 P是圖③中圖象 G上一點(diǎn) ,其橫坐標(biāo)為 m,連接 PD,△ PDE的面積不小于 1時(shí) m的取值范圍 . ? 43解析 【 問題 】 把 (0,0)代入 y=a(x2)2? ,得 4a? =0,∴ a=? .? (1分 ) 43 43 13【 操作 】 當(dāng) x≤ 0或 x≥ 4時(shí) ,y=? (x2)2? 。關(guān)于點(diǎn) (0,k+n2)的衍生拋物線為 yn,其頂點(diǎn)為 An。最短 ,OA與 ? 交于 點(diǎn) P,此時(shí)使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長 ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長 ,進(jìn)而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 12 3 ︵難點(diǎn)分析 本題難點(diǎn)在于第 (3)問如何確定 P點(diǎn)的位置及何時(shí) PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題 ,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段 OA的長度求出 AP的最小值 . 8.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí) ,經(jīng)歷了如下過程 : 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過點(diǎn) (1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0, 1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 . 抽象感悟 我們定義 :對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心 ,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 的拋物線 y39。的周長為 P39。=MP39。tan 60176。2最短 ,只要 AP39。1AP39。2, 1 22AO AM?BC︵則 AP39。的周長 =P39。2F39。, ? ∴ △ P39。2,連接 P39。, ∴ △ ABO是等邊三角形 ,∴ AB=OA=OB=5. 即△ ABC的外接圓半徑 R的值為 5. (2)如圖 ,連接 MO,并延長與☉ O相交于點(diǎn) P39。 (3)☉ T的圓心為 T(t,0),半徑為 d(☉ T,△ ABC)=1,直接寫出 t的取值范圍 . 解析 (1)如圖 1,點(diǎn) O到△ ABC上的點(diǎn)的距離的最小值為 2,即 d(點(diǎn) O,△ ABC)=2. ? 圖 1 (2)k的取值范圍為 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. 提示 : 如圖 1,y=kx(k≠ 0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) ,在 1≤ x≤ 1范圍內(nèi) ,函數(shù)圖象為線段 . 當(dāng) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經(jīng)過 (1,1)時(shí) ,k=1, 此時(shí) d(G,△ ABC)=1。 152? 2?1 5 5 1,22????????1 5 1 5,? ? ?2? 512?2? 2? 2?③ 當(dāng) x≥ ? 時(shí) ,min{x2+1,x}=x2+1,函數(shù)值隨 x的增大而減小 ,最大值為 ? . 綜上所述 ,min{x2+1,x}的最大值是 ? .故選 A. 2? 152??512?二、填空題 2.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設(shè)等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個(gè)底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 思路分析 設(shè)出頂角度數(shù) ,根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù) ,再由三角形內(nèi)角和定理即可求得 . 3.(2022龍巖 ,16,3分 )我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn)叫做 這個(gè)四邊形的腰點(diǎn) (如矩形的對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn) ),則正方形的腰點(diǎn)共有 個(gè) . 答案 9 解析 如圖 ,正方形一共有 9個(gè)腰點(diǎn) ,除了正方形的中心外 ,兩條與邊平行的對(duì)稱軸上各有四個(gè) 腰點(diǎn) .以 B為圓心 ,BA長為半徑畫圓 ,與平行邊的對(duì)稱軸交于 4個(gè)點(diǎn) ,這 4個(gè)點(diǎn)均滿足腰點(diǎn)定義 ,同 理確定其他腰點(diǎn) . ? 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要關(guān)注圖形的對(duì)稱性以及等腰三角形腰、底的分類討論 ,同時(shí) 用好作圖工具 (圓規(guī)、直尺 ). 三、解答題 4.(2022重慶 ,25,10分 )對(duì)任意一個(gè)四位數(shù) n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為 9,百位與個(gè)位上的 數(shù)字之和也為 9,則稱 n為“極數(shù)” . (1)請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)” 。并猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是不是 99的倍數(shù) ,請(qǐng)說明理由 。 當(dāng) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經(jīng)過 (1,1)時(shí) ,k=1, 此時(shí) d(G,△ ABC)=1. ∴ 1≤ k≤ 1. ∵ k≠ 0, ∴ 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. (3)t的取值范圍為 t=4或 0≤ t≤ 42? 或 t=4+2? . 提示 : ☉ T與△ ABC的位置關(guān)系分三種情況 ,如圖 2. ①☉ T在△ ABC的左側(cè)時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) t=4。,連接 OA,OP. ? ∵ M是弦 AB的中點(diǎn) , ∴ OM⊥ AB,AM=? AB=12. 在 Rt△ AOM中 ,OM=? =5.? (4分 ) ∵ PM≤ OM+OP=OM+OP39。1P39。E39。=P39。1P39。1=AP39。2=2∠ BAC=120176。最短即可 . 設(shè) O為 ? 所在圓的圓心 ,連接 OB、 OC、 OP39。=3? km. ∵∠ BOC=60176。=18得解 。1P39。,則我們又稱拋物線 y39?！?(n為正整數(shù) ).求 AnAn+1的長 (用含 n的式子表示 ). ? (備用圖 ) 解析 (1)4。? (2分 ) 當(dāng) 0x4時(shí) ,y=? (x2)2+? .? (3分 ) 13 4313 43【 探究 】 由題意得 ,當(dāng) x≤ 0或 x≥ 4時(shí) , 令 y=1,則 ? (x2)2? =1. 解得 x1=2+? ,x2=2? .? (4分 ) ∴ 點(diǎn) C,F的坐標(biāo)