【正文】 關鍵 . 15.(2022泉州 ,26,13分 )閱讀理解 拋物線 y=? x2上任意一點到點 (0,1)的距離與到直線 y=1的距離相等 ,你可以利用這一性質(zhì)解決 問題 . 問題解決 如圖 ,在平面直角坐標系中 ,直線 y=kx+1與 y軸交于 C點 ,與函數(shù) y=? x2的圖象交于 A,B兩點 ,分別 過 A,B兩點作直線 y=1的垂線 ,交于 E,F兩點 . (1)寫出點 C的坐標 ,并說明 ∠ ECF=90176。 (2)在△ PEF中 ,M為 EF中點 ,P為動點 . ① 求證 :PE2+PF2=2(PM2+EM2)。 ② 已知 PE=PF=3,以 EF為一條對角線作平行四邊 形 CEDF,若 1PD2,試求 CP的取值范圍 . 1414解析 (1)當 x=0時 ,y=k0+1=1, 則點 C的坐標為 (0,1). 根據(jù)題意可得 AC=AE, ∴∠ AEC=∠ ACE. ∵ AE⊥ EF,CO⊥ EF, ∴ AE∥ CO, ∴∠ AEC=∠ OCE, ∴∠ ACE=∠ OCE. 同理可得 ∠ OCF=∠ BCF. ∵∠ ACE+∠ OCE+∠ OCF+∠ BCF=180176。, ∴ 2∠ OCE+2∠ OCF=180176。, ∴∠ OCE+∠ OCF=90176。,即 ∠ ECF=90176。. (2)① 證明 :過點 P作 PH⊥ EF于 H, (i)若點 H在線段 EF上 ,如圖① . ? 圖① ∵ M為 EF中點 , ∴ EM=FM=? EF. 根據(jù)勾股定理可得 PE2+PF22PM2=PH2+EH2+PH2+HF22PM2 =2PH2+EH2+HF22(PH2+MH2) =EH2MH2+HF2MH2 =(EH+MH)(EHMH)+(HF+MH)(HFMH) 12=EM(EH+MH)+MF(HFMH) =EM(EH+MH)+EM(HFMH) =EM(EH+MH+HFMH) =EMEF=2EM2, ∴ PE2+PF2=2(PM2+EM2). (ii)若點 H在線段 EF的延長線 (或反向延長線 )上 ,如圖② . ? 圖② 同理可得 PE2+PF2=2(PM2+EM2). 綜上所述 :當點 H在直線 EF上時 ,都有 PE2+PF2=2(PM2+EM2). ② 連接 CD、 PM,如圖③ . ∵∠ ECF=90176。, ∴ ?CEDF是矩形 , ∵ M是 EF的中點 , ∴ M是 CD的中點 ,且 MC=EM. 由①中的結(jié)論可得 在△ PEF中 ,有 PE2+PF2=2(PM2+EM2), 在△ PCD中 ,有 PC2+PD2=2(PM2+CM2). ∵ MC=EM, ∴ PC2+PD2=PE2+PF2. ∵ PE=PF=3, ∴ PC2+PD2=18. ∵ 1PD2, 1417∴ 1PD24, ∴ 118PC24, ∴ 14PC217. ∵ PC0, ∴ ? PC? . 圖③ 16.(2022重慶 ,23,10分 )如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù) 字 ,與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同 ,那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧 數(shù)” .例如自然數(shù) 12 321,從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字是 :1,2,3,2,1,從個位到最高位依 次排出的一串數(shù)字仍是 :1,2,3,2,1,因此 12 321是一個“和諧數(shù)” .再如 22,545,3 883,345 543,… , 都是“和諧數(shù)” . (1)請你直接寫出 3個四位“和諧數(shù)” 。請你猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被 11整除 ,并說 明理由 。 (2)已知一個能被 11整除的三位“和諧數(shù)” ,設其個位上的數(shù)字為 x(1≤ x≤ 4,x為自然數(shù) ),十位 上的數(shù)字為 y,求 y與 x的函數(shù)關系式 . 解析 (1)寫出 3個滿足條件的數(shù)即可 . (千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同 ,百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同 ) 猜想 :任意一個四位“和諧數(shù)”能被 11整除 . 設一個四位“和諧數(shù)”個位上的數(shù)字為 a(1≤ a≤ 9且 a為自然數(shù) ),十位上的數(shù)字為 b(0≤ b≤ 9且 b為自然數(shù) ),則這個四位“和諧數(shù)”可表示為 1 000a+100b+10b+a. ∵ 1 000a+100b+10b+a=1 001a+110b=1191a+1110b=11(91a+10b), ∴ 1 000a+100b+10b+a能被 11整除 , 即任意一個四位“和諧數(shù)”能被 11整除 .? (5分 ) (2)∵ 這個三位“和諧數(shù)”的個位上的數(shù)字為 x,十位上的數(shù)字為 y, ∴ 這個三位“和諧數(shù)”可表示為 100x+10y+x.? (6分 ) ∵ 100x+10y+x=99x+11y+2xy=11(9x+y)+(2xy), 又這個三位“和諧數(shù)”能被 11整除 ,且 x,y是自然數(shù) , ∴ 2xy能被 11整除 .? (8分 ) ∵ 1≤ x≤ 4,0≤ y≤ 9,∴ 2xy=0. ∴ y與 x的函數(shù)關系式為 y=2x(1≤ x≤ 4且 x為自然數(shù) ).? (10分 ) 17.(2022浙江寧波 ,25,12分 )如圖 1,點 P為 ∠ MON的平分線上一點 ,以 P為頂點的角的兩邊分別 與射線 OM,ON交于 A,B兩點 ,如果 ∠ APB繞點 P旋轉(zhuǎn)時始終滿足 OAOB=OP2,我們就把 ∠ APB叫 做 ∠ MON的智慧角 . ? (1)如圖 2,已知 ∠ MON=90176。,點 P為 ∠ MON的平分線上一點 ,以 P為頂點的角的兩邊分別與射線 OM,ON交于 A,B兩點 ,且 ∠ APB=135176。.求證 :∠ APB是 ∠ MON的智慧角 . (2)如圖 1,已知 ∠ MON=α(0176。α90176。),OP=2,若 ∠ APB是 ∠ MON的智慧角 ,連接 AB,用含 α的式子 分別表示 ∠ APB的度數(shù)和△ AOB的面積 . (3)如圖 3,C是函數(shù) y=? (x0)圖象上的一個動點 ,過 C的直線 CD分別交 x軸和 y軸于 A,B兩點 ,且滿 足 BC=2CA,請求出 ∠ AOB的智慧角 ∠ APB的頂點 P的坐標 . 3x解析 (1)證明 :∵∠ MON=90176。,P是 ∠ MON的平分線上一點 , ∴∠ AOP=∠ BOP=? ∠ MON=45176。. ∵∠ AOP+∠ OAP+∠ APO=180176。, ∴∠ OAP+∠ APO=135176。. ∵∠ APB=135176。,∴∠ APO+∠ OPB=135176。, ∴∠ OAP=∠ OPB,∴ △ AOP∽ △ POB,? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ OP2=OAOB, ∴∠ APB是 ∠ MON的智慧角 .? (3分 ) ? (2)∵∠ APB是 ∠ MON的智慧角 , ∴ OAOB=OP2,∴ ? =? . 12∵ P為 ∠ MON的平分線上一點 ,∠ MON=α, ∴∠ AOP=∠ BOP=? α. ∴ △ AOP∽ △ POB,∴∠ OAP=∠ OPB, ∴∠ APB=∠ OPB+∠ OPA=∠ OAP+∠ OPA=180176。? α, 即 ∠ APB=180176。? α.? (5分 ) 過 A作 AG⊥ OB于 G, ? ∴ S△ AOB=? OBAG=? OBOAsin α=? OP2sin α. ∵ OP=2,∴ S△ AOB=2sin α.? (7分 ) (3)設點 C(a,b),則 ab=3, 過點 C作 CH⊥ OA,垂足為點 H,e2 12 121212 12 12∴ △ ACH≌ △ ABO, ∴ OB=CH=b,OA=AH=? a, ∴ OAOB=? ab=? . ∵∠ APB是 ∠ AOB的智慧角 , ∴ OP=? =? =? , ∵∠ AOB=90176。,OP平分 ∠ AOB, ∴ 點 P的坐標為 ? . 綜上 ,點 P的坐標為 ? 或 ? .? (12分 ) 121232 OAOB?326233,22???????3 3 3 3, ?評析 本題是閱讀理解型新定義問題 ,考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、反比例函數(shù)的性質(zhì)、曲線上點的坐標與方程的關系等知識 ,以及 分類討論思想的應用 .