【正文】 百位與個(gè)位上的 數(shù)字之和也為 9,則稱 n為“極數(shù)” . (1)請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)” 。 (2)如果一個(gè)正整數(shù) a是另一個(gè)正整數(shù) b的平方 ,則稱正整數(shù) a是完全平方數(shù) .若四位數(shù) m為“極 數(shù)” ,記 D(m)=? .求滿足 D(m)是完全平方數(shù)的所有 m. 33m解析 (1)4 158,6 237,9 900.? (2分 ) 任意一個(gè)“極數(shù)”是 99的倍數(shù) .理由 :設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ),則十位上的數(shù)字為 9x,個(gè)位上的數(shù)字為 為 n=1 000x+100y+10(9x)+9y. 化簡(jiǎn) ,得 n=990x+99y+99=99(10x+y+1). ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ,∴ 10x+y+1為整數(shù) . ∴ 任意一個(gè)“極數(shù)”都是 99的倍數(shù) .? (4分 ) (2)由 (1)可知 ,設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” m的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y 為整數(shù) ),則“極數(shù)” m可表示為 m=99(10x+y+1). ∴ D(m)=? =3(10x+y+1).? (5分 ) ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9, ∴ 11≤ 10x+y+1≤ 100. ∴ 33≤ 3(10x+y+1)≤ 300. m∵ D(m)為完全平方數(shù)且 D(m)是 3的倍數(shù) , ∴ D(m)=36或 81或 144或 225.? (6分 ) 當(dāng) D(m)=36時(shí) ,得 10x+y=11,解得 x=1,y= ,m=1 188. 當(dāng) D(m)=81時(shí) ,得 10x+y=26,解得 x=2,y= ,m=2 673. 當(dāng) D(m)=144時(shí) ,得 10x+y=47,解得 x=4,y= ,m=4 752. 當(dāng) D(m)=225時(shí) ,得 10x+y=74,解得 x=7,y= ,m=7 425. 綜上 ,滿足條件的 m為 1 188,2 673,4 752,7 425.? (10分 ) 思路分析 (1)設(shè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y,則極數(shù) n=1 000x+100y+10(9x)+9y, 化簡(jiǎn)得 n=99(10x+y+1),顯然是 99的倍數(shù) 。 (2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn) .記圖象 G在點(diǎn) A,B之間的部分與線段 OA,OC,BC圍成的 區(qū)域 (不含邊界 )為 W. ① 當(dāng) b=1時(shí) ,直接寫出區(qū)域 W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù) 。 若 b0,當(dāng)直線過點(diǎn) (4,0)時(shí) ,b=1, 當(dāng)直線過點(diǎn) (5,0)時(shí) ,b=? , ∴ ? ≤ b1. 綜上 ,? ≤ b1或 ? b≤ ? . 7411474 4545454 74114思路分析 本題的第 (2)問需要結(jié)合題意畫圖理解 ,尋找圖象中的臨界點(diǎn) . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是在尋找區(qū)域內(nèi)除了 x軸上整點(diǎn)的臨界整點(diǎn)時(shí) ,要注意區(qū)域是不包 含邊界的 . 6.(2022北京 ,28,7分 )對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的圖形 M,N,給出如下定義 :P為圖形 M上任意一 點(diǎn) ,Q為圖形 N上任意一點(diǎn) ,如果 P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值 ,那么稱這個(gè)最小值為圖形 M,N間的 “閉距離” ,記作 d(M,N). 已知點(diǎn) A(2,6),B(2,2),C(6,2). (1)求 d(點(diǎn) O,△ ABC)。 (3)☉ T的圓心為 T(t,0),半徑為 d(☉ T,△ ABC)=1,直接寫出 t的取值范圍 . 解析 (1)如圖 1,點(diǎn) O到△ ABC上的點(diǎn)的距離的最小值為 2,即 d(點(diǎn) O,△ ABC)=2. ? 圖 1 (2)k的取值范圍為 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. 提示 : 如圖 1,y=kx(k≠ 0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) ,在 1≤ x≤ 1范圍內(nèi) ,函數(shù)圖象為線段 . 當(dāng) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經(jīng)過 (1,1)時(shí) ,k=1, 此時(shí) d(G,△ ABC)=1。 ②☉ T在△ ABC的內(nèi)部時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) 0≤ t≤ 42? 。,AB=AC=5,則△ ABC的外接圓半徑 R的值為 . 問題探究 (2)如圖② ,☉ O的半徑為 13,弦 AB=24,M是 AB的中點(diǎn) ,P是☉ O上一動(dòng)點(diǎn) ,求 PM的最大值 . 問題解決 (3)如圖③所示 ,AB、 AC、 ? 是某新區(qū)的三條規(guī)劃路 ,其中 ,AB=6 km,AC=3 km,∠ BAC=60176。.新區(qū)管委會(huì)想在 ? 路邊建物資總站點(diǎn) P,在 AB、 AC路邊分別建物資分站 點(diǎn) E、 F,也就是 ,分別在 ? 、線段 AB和 AC上選取點(diǎn) P、 E、 資在各物資站點(diǎn)間按 P→ E→ F→ P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸 ,因此 ,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路 PE、 EF和 、環(huán)保和節(jié)約成本 ,要使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,試求 PE+EF+FP的最 小值 .(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì) ) BC︵ BC︵︵︵解析 (1)5? (2分 ) 詳解 :如圖 ,設(shè) O是△ ABC的外接圓的圓心 , ? ∴ OA=OB=OC,又 AB=AC,∴ △ AOB≌ △ AOC, ∴∠ BAO=∠ CAO, ∵∠ BAC=120176。, ∴ △ ABO是等邊三角形 ,∴ AB=OA=OB=5. 即△ ABC的外接圓半徑 R的值為 5. (2)如圖 ,連接 MO,并延長(zhǎng)與☉ O相交于點(diǎn) P39。=MP39。時(shí) ,PM取得最大值 ,為 18.? (5分 ) (3)如圖 ,設(shè) P39。關(guān)于直線 AB、 AC的對(duì)稱點(diǎn) P39。2,連接 P39。2,分別 與 AB、 AC相交于點(diǎn) E39。,連接 P39。,P39。, ? ∴ △ P39。F39。1E39。F39。2F39。1P39。及分別在 AB、 AC上的任意點(diǎn) E、 F,有△ P39。E39。的周長(zhǎng) =P39。2. 即△ P39。1P39。1,AP39。2, 1 22AO AM?BC︵則 AP39。=AP39。1AB=∠ P39。2AC=∠ P39。1AP39。,∴ P39。2=? AP39。.? (8分 ) ∴ 要使 P39。2最短 ,只要 AP39。、 OA,且 OA與 ? 相交于點(diǎn) P, 則 AP39。O≥ AO. ∴ AP39。,∠ ACB=90176。tan 60176。,OB=OC, ∴ BO=BC=3? km,∠ OBC=60176。. 在 Rt△ ABO中 ,AO=? =? =3? km.? (11分 ) ∴ ? AP=? (AOOP)=? (3? 3? )=(3? 9)km. ∴ P39。2的最小值為 ? AP=(3? 9)km. ∴ PE+EF+FP的最小值為 (3? 9)km.? (12分 ) 33︵ BC︵33 22AB BO?6 (3 3)?73 37321321思路分析 (1)設(shè) O是△ ABC的外接圓的圓心 ,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等 可證△ ABO是等邊三角形 ,所以 AB=OA=OB=5。=MP39。(3) 分別以 AB、 AC所在的直線為對(duì)稱軸 ,作出 P39。1,關(guān)于 AC的對(duì)稱點(diǎn)為 P39。E39。的周長(zhǎng)為 P39。2的長(zhǎng) ,根據(jù) P39。2=? AP39。1P39。最短 ,OA與 ? 交于 點(diǎn) P,此時(shí)使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長(zhǎng) ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長(zhǎng) ,進(jìn)而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 12 3 ︵難點(diǎn)分析 本題難點(diǎn)在于第 (3)問如何確定 P點(diǎn)的位置及何時(shí) PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題 ,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段 OA的長(zhǎng)度求出 AP的最小值 . 8.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí) ,經(jīng)歷了如下過程 : 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過點(diǎn) (1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0, 1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 . 抽象感悟 我們定義 :對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心 ,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 的拋物線 y39。為拋物線 y的“衍生拋物線”