【正文】 百位與個位上的 數(shù)字之和也為 9,則稱 n為“極數(shù)” . (1)請任意寫出三個“極數(shù)” 。 (2)如果一個正整數(shù) a是另一個正整數(shù) b的平方 ,則稱正整數(shù) a是完全平方數(shù) .若四位數(shù) m為“極 數(shù)” ,記 D(m)=? .求滿足 D(m)是完全平方數(shù)的所有 m. 33m解析 (1)4 158,6 237,9 900.? (2分 ) 任意一個“極數(shù)”是 99的倍數(shù) .理由 :設任意一個“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ),則十位上的數(shù)字為 9x,個位上的數(shù)字為 為 n=1 000x+100y+10(9x)+9y. 化簡 ,得 n=990x+99y+99=99(10x+y+1). ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ,∴ 10x+y+1為整數(shù) . ∴ 任意一個“極數(shù)”都是 99的倍數(shù) .? (4分 ) (2)由 (1)可知 ,設任意一個“極數(shù)” m的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y 為整數(shù) ),則“極數(shù)” m可表示為 m=99(10x+y+1). ∴ D(m)=? =3(10x+y+1).? (5分 ) ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9, ∴ 11≤ 10x+y+1≤ 100. ∴ 33≤ 3(10x+y+1)≤ 300. m∵ D(m)為完全平方數(shù)且 D(m)是 3的倍數(shù) , ∴ D(m)=36或 81或 144或 225.? (6分 ) 當 D(m)=36時 ,得 10x+y=11,解得 x=1,y= ,m=1 188. 當 D(m)=81時 ,得 10x+y=26,解得 x=2,y= ,m=2 673. 當 D(m)=144時 ,得 10x+y=47,解得 x=4,y= ,m=4 752. 當 D(m)=225時 ,得 10x+y=74,解得 x=7,y= ,m=7 425. 綜上 ,滿足條件的 m為 1 188,2 673,4 752,7 425.? (10分 ) 思路分析 (1)設“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y,則極數(shù) n=1 000x+100y+10(9x)+9y, 化簡得 n=99(10x+y+1),顯然是 99的倍數(shù) 。 (2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點 .記圖象 G在點 A,B之間的部分與線段 OA,OC,BC圍成的 區(qū)域 (不含邊界 )為 W. ① 當 b=1時 ,直接寫出區(qū)域 W內的整點個數(shù) 。 若 b0,當直線過點 (4,0)時 ,b=1, 當直線過點 (5,0)時 ,b=? , ∴ ? ≤ b1. 綜上 ,? ≤ b1或 ? b≤ ? . 7411474 4545454 74114思路分析 本題的第 (2)問需要結合題意畫圖理解 ,尋找圖象中的臨界點 . 解題關鍵 解決本題的關鍵是在尋找區(qū)域內除了 x軸上整點的臨界整點時 ,要注意區(qū)域是不包 含邊界的 . 6.(2022北京 ,28,7分 )對于平面直角坐標系 xOy中的圖形 M,N,給出如下定義 :P為圖形 M上任意一 點 ,Q為圖形 N上任意一點 ,如果 P,Q兩點間的距離有最小值 ,那么稱這個最小值為圖形 M,N間的 “閉距離” ,記作 d(M,N). 已知點 A(2,6),B(2,2),C(6,2). (1)求 d(點 O,△ ABC)。 (3)☉ T的圓心為 T(t,0),半徑為 d(☉ T,△ ABC)=1,直接寫出 t的取值范圍 . 解析 (1)如圖 1,點 O到△ ABC上的點的距離的最小值為 2,即 d(點 O,△ ABC)=2. ? 圖 1 (2)k的取值范圍為 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. 提示 : 如圖 1,y=kx(k≠ 0)的圖象經過原點 ,在 1≤ x≤ 1范圍內 ,函數(shù)圖象為線段 . 當 y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經過 (1,1)時 ,k=1, 此時 d(G,△ ABC)=1。 ②☉ T在△ ABC的內部時 ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時 0≤ t≤ 42? 。,AB=AC=5,則△ ABC的外接圓半徑 R的值為 . 問題探究 (2)如圖② ,☉ O的半徑為 13,弦 AB=24,M是 AB的中點 ,P是☉ O上一動點 ,求 PM的最大值 . 問題解決 (3)如圖③所示 ,AB、 AC、 ? 是某新區(qū)的三條規(guī)劃路 ,其中 ,AB=6 km,AC=3 km,∠ BAC=60176。.新區(qū)管委會想在 ? 路邊建物資總站點 P,在 AB、 AC路邊分別建物資分站 點 E、 F,也就是 ,分別在 ? 、線段 AB和 AC上選取點 P、 E、 資在各物資站點間按 P→ E→ F→ P的路徑進行運輸 ,因此 ,要在各物資站點之間規(guī)劃道路 PE、 EF和 、環(huán)保和節(jié)約成本 ,要使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,試求 PE+EF+FP的最 小值 .(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計 ) BC︵ BC︵︵︵解析 (1)5? (2分 ) 詳解 :如圖 ,設 O是△ ABC的外接圓的圓心 , ? ∴ OA=OB=OC,又 AB=AC,∴ △ AOB≌ △ AOC, ∴∠ BAO=∠ CAO, ∵∠ BAC=120176。, ∴ △ ABO是等邊三角形 ,∴ AB=OA=OB=5. 即△ ABC的外接圓半徑 R的值為 5. (2)如圖 ,連接 MO,并延長與☉ O相交于點 P39。=MP39。時 ,PM取得最大值 ,為 18.? (5分 ) (3)如圖 ,設 P39。關于直線 AB、 AC的對稱點 P39。2,連接 P39。2,分別 與 AB、 AC相交于點 E39。,連接 P39。,P39。, ? ∴ △ P39。F39。1E39。F39。2F39。1P39。及分別在 AB、 AC上的任意點 E、 F,有△ P39。E39。的周長 =P39。2. 即△ P39。1P39。1,AP39。2, 1 22AO AM?BC︵則 AP39。=AP39。1AB=∠ P39。2AC=∠ P39。1AP39。,∴ P39。2=? AP39。.? (8分 ) ∴ 要使 P39。2最短 ,只要 AP39。、 OA,且 OA與 ? 相交于點 P, 則 AP39。O≥ AO. ∴ AP39。,∠ ACB=90176。tan 60176。,OB=OC, ∴ BO=BC=3? km,∠ OBC=60176。. 在 Rt△ ABO中 ,AO=? =? =3? km.? (11分 ) ∴ ? AP=? (AOOP)=? (3? 3? )=(3? 9)km. ∴ P39。2的最小值為 ? AP=(3? 9)km. ∴ PE+EF+FP的最小值為 (3? 9)km.? (12分 ) 33︵ BC︵33 22AB BO?6 (3 3)?73 37321321思路分析 (1)設 O是△ ABC的外接圓的圓心 ,根據(jù)全等三角形的判定與性質和圓的半徑相等 可證△ ABO是等邊三角形 ,所以 AB=OA=OB=5。=MP39。(3) 分別以 AB、 AC所在的直線為對稱軸 ,作出 P39。1,關于 AC的對稱點為 P39。E39。的周長為 P39。2的長 ,根據(jù) P39。2=? AP39。1P39。最短 ,OA與 ? 交于 點 P,此時使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長 ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長 ,進而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 12 3 ︵難點分析 本題難點在于第 (3)問如何確定 P點的位置及何時 PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對稱確定最短路線問題 ,同時結合圓半徑和線段 OA的長度求出 AP的最小值 . 8.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時 ,經歷了如下過程 : 求解體驗 (1)已知拋物線 y=x2+bx3經過點 (1,0),則 b= ,頂點坐標為 ,該拋物線關于點 (0, 1)成中心對稱的拋物線表達式是 . 抽象感悟 我們定義 :對于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點 M(0,m)為中心 ,作該拋物線關于點 M對稱 的拋物線 y39。為拋物線 y的“衍生拋物線”