【正文】 解是正數(shù)，即可得到一個關(guān)于 m 的不等式，從而求得 m 的范圍． 【解答】 解： ∵ 關(guān)于 x 的方程 + =2 有解， ∴ x﹣ 2≠ 0， ∴ x≠ 2， 去分母得： 2﹣ x﹣ m=2（ x﹣﹣ 2）， 即 x=2﹣ ， 根據(jù)題意得： 2﹣ ＞ 0 且 2﹣ ≠ 2， 解得： m＜ 6 且 m≠ 0． 故答案是： m＜ 6 且 m≠ 0． 【點評】 本題主要考查了分式方程的解的符號的確定，正確求解分式方程是解題的關(guān)鍵． 24．如圖，在五邊形 ABCDE 中，已知 ∠ BAE=120176。， ∠ B=∠ E=90176。， AB=BC=2， AE=DE=4，在 BC、 DE 上分別找一點 M、 N，則 △ AMN 的最小周長為 4 ． 【考點】 軸對稱 最短路線問題． 【分析】 根據(jù)要使 △ AMN 的周長最小，利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出 A 關(guān)于 BC 和 ED 的對稱點 A′， A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可． 【解答】 解：作 A 關(guān)于 BC 和 ED 的對稱點 A′， A″，連接 A′A″，交 BC 于 M，交 ED 于 N，則 A′A″即為 △ AMN 的周長最小值． 過 A′作 EA 延長線的垂線，垂足為 H， ∵ AB=BC=2， AE=DE=4， ∴ AA′=2BA=4， AA″=2AE=8， 則 Rt△ A′HA 中， ∵∠ EAB=120176。， ∴∠ HAA′=60176。， ∵ A′H⊥ HA， ∴∠ AA′H=30176。， ∴ AH= AA′=2， ∴ A′H= =2 ， A″H=2+8=10， ∴ A′A″= =4 ． 故答案為 4 ． 【點評】 本題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出 M， N 的位置是解題關(guān)鍵，注意軸對稱的性質(zhì)和勾股定理的正確運用． 25．如圖，正 △ ABC 的邊長為 2，以 BC 邊上的高 AB1 為邊作正 △ AB1C1， △ ABC 與 △ AB1C1公共部分的面積記為 S1；再以正 △ AB1C1 邊 B1C1 上的高 AB2 為邊作正 △ AB2C2， △ AB1C1與 △ AB2C2 公共部分的面積記為 S2； …，以此類推，則 Sn= （ ） n ．（用含 n 的式子表示） 【考點】 等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】 由 AB1 為邊長為 2 的等邊三角形 ABC 的高，利用三線合一得到 B1 為 BC 的中點，求出 BB1 的長，利用勾股定理求出 AB1 的長，進而求出 S1，同理求出 S2，依此類推，得到Sn． 【解答】 解： ∵ 等邊三角形 ABC 的邊長為 2， AB1⊥ BC， ∴ BB1=1， AB=2， 根據(jù)勾股定理得： AB1= ， ∴ S1= （ ） 2= （ ） 1； ∵ 等邊三角形 AB1C1 的邊長為 ， AB2⊥ B1C1， ∴ B1B2= ， AB1= ， 根據(jù)勾股定理得： AB2= ， ∴ S2= （ ） 2= （ ） 2； 依此類推， Sn= （ ） n． 故答案為： （ ） n． 【點評】 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 二．解答題（共 8 分） 26．某廠制作甲、乙兩種環(huán)保包裝盒，已知同樣用 6m 材料制成甲盒的個數(shù)比制成乙盒的個數(shù)少 2 個，且制成一個甲盒比制成一個乙盒需要多用 20%的材料． （ 1）求制作每個甲盒、乙盒各用多少米材料？ （ 2）如果制作甲、乙兩種包裝盒共 3000 個，且甲盒的數(shù)量不少于乙盒數(shù)量的 2 倍，那么請寫出所需要材料的總長度 l（ m）與甲盒數(shù)量 n（個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少需要多少米材料？ 【考點】 一次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)制作每個乙盒用 x 米材料，則制作甲盒用（ 1+20%） x 米材料，根據(jù) “同樣用 6m 材料制成甲盒的個數(shù)比制成乙盒的個數(shù)少 2 個 ”，列出方程，即可解答； （ 2）根據(jù)所需要材料的總長度 l=甲盒材料的總長度 +乙盒材料的總長度，列出函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù) “甲盒的數(shù)量不少于乙盒數(shù)量的 2 倍 ”求出 n 的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答． 【解答】 解：（ 1）設(shè)制作每個乙盒用 x 米材料，則制作甲盒用（ 1+20%） x 米材料， ， 解得： x=， 經(jīng)檢驗 x= 是原方程的解， ∴ （ 1+20%） x=（米）， 答：制作每個甲盒用 米材料；制作每個乙盒用 米材料． （ 2）根據(jù)題意得： l=+（ 3000﹣ n） =+1500， ∵ 甲盒的數(shù)量不少于乙盒數(shù)量的 2 倍， ∴ n≥ 2（ 3000﹣ n） 解得： n≥ 2022， ∴ 2022≤ n＜ 3000， ∵ k=＞ 0， ∴ l 隨 n 增大而增大， ∴ 當 n=2022 時， l 最小 1700 米． 【點評】 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題． 三、（本題共 1 小題，共 10 分） 27．（ 10 分）（ 2022?湖州）一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題： 如圖，已知在 Rt△ ABC 中， AB=BC， ∠ ABC=90176。， BO⊥ AC 于點 O，點 P、 D 分別在 AO和 BC 上， PB=PD， DE⊥ AC 于點 E，求證： △ BPO≌△ PDE． （ 1）理清思路，完成解答（ 2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程． （ 2）特殊位置，證明結(jié)論 若 PB 平分 ∠ ABO，其余條件不變．求證： AP=CD． （ 3）知識遷移，探索新知 若點 P 是一個動點，點 P 運動到 OC 的中點 P′時，滿足題中條件的點 D 也隨之在直線 BC上運動到點 D′，請直接寫出 CD′與 AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程） 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）求出 ∠ 3=∠ 4， ∠ BOP=∠ PED=90176。，根據(jù) AAS 證 △ BPO≌△ PDE 即可； （ 2）求出 ∠ ABP=∠ 4，求出 △ ABP≌△ CPD，即可得出答案； （ 3）設(shè) OP=CP=x，求出 AP=3x， CD= x，即可得出答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ PB=PD， ∴∠ 2=∠ PBD， ∵ AB=BC， ∠ ABC=90176。， ∴∠ C=45176。， ∵ BO⊥ AC， ∴∠ 1=45176。， ∴∠ 1=∠ C=45176。， ∵∠ 3=∠ PBC﹣ ∠ 1， ∠ 4=∠ 2﹣ ∠ C， ∴∠ 3=∠ 4， ∵ BO⊥ AC， DE⊥ AC， ∴∠ BOP=∠ PED=90176。， 在 △ BPO 和 △ PDE 中 ∴△ BPO≌△ PDE（ AAS）； （ 2）證明：由（ 1）可得： ∠ 3=∠ 4， ∵ BP 平分 ∠ ABO， ∴∠ ABP=∠ 3， ∴∠ ABP=∠ 4， 在 △ ABP 和 △ CPD 中 ∴△ ABP≌△ CPD（ AAS）， ∴ AP=CD． （ 3）解： CD′與 AP′的數(shù)量關(guān)系是 CD′= AP′． 理由是：設(shè) OP=PC=x，則 AO=OC=2x=BO， 則 AP=2x+x=3x， 由 △ OBP≌△ EPD，得 BO=PE， PE=2x， CE=2x﹣ x=x， ∵∠ E=90176。， ∠ ECD=∠ ACB=45176。， ∴ DE=x，由勾股定理得： CD= x， 即 AP=3x， CD= x， ∴ CD′與 AP′的數(shù)量關(guān)系是 CD′= AP′ 【點評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，主要考查學生的推理和計算能力． 四、（本題共 1 小題，共 12 分） 28．（ 12 分）（ 2022 春 ?金堂縣期末）如圖（ 1），在 Rt△ AOB 中， ∠ A=90176。， ∠ AOB=60176。，OB=2 ， ∠ AOB 的平分線 OC 交 AB 于 C，過 O 點做與 OB 垂直的直線 ON．動點 P 從點B 出發(fā)沿折線 BC﹣ CO 向終點 O 運動，運動時間為 t 秒，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)沿線段 CO及直線 ON 運動，當點 P 到達點 O 時 P、 Q 同時停止運動． （ 1）求 OC、 BC 的長； （ 2）當點 P 與點 Q 的速度都是每秒 1 個單位長度的速度運動時，設(shè) △ CPQ 的面積為 S，求S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）當點 P 運動到 OC 上時，在直線 OB 上有一點 D，當 PD+BP 最小時，在直線 OB 上有一點 E，若以 B、 P、 Q、 E 為頂點的四邊形為平行四邊形，設(shè)點 P、 Q 的運動路程分別為 a、b，求 a 與 b 滿足的數(shù)量關(guān)系． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）求出 ∠ B，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出 OA，求出 AB，在 △ AOC 中，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于 OC 的方程，求出 OC 即可； （ 2）有四種情況： ①當 P 在 BC 上， Q 在 OC 上時， t＜ 2，過 P 作 PH⊥ OC 于 H，求出 PH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可； ②當 t=2 時， P 在 C 點， Q 在 O 點，此時， △ CPQ 不存在； ③當 P 在 OC 上， Q 在 ON 上時，過 P 作 PG⊥ ON 于 G，過 C 作 CZ⊥ ON 于 Z，求出CZ 和 PG 的值，求出 △ OCQ 和 △ OPQ 的面積，相減即可 ④t=4 時，求出即可； （ 3）過 B 作 BB1⊥ OC，垂足為 C1，與 OA 的延長線交于 B1，作 B1D⊥ OB，垂足為 D，與OC 交于點 P，此時 BP+PD=B1D（最短），于是得到 △ OBB1 為正三角形， ①當點 Q 在 OC上時，由 PQ 與 EB 交于點 O?BPQE 不可能為平行四邊形， ②當點 Q 在直線 ON 上時， A．如圖（ 4）以 BQ 為對角線， B．如下圖（ 5）以 BP 為對角線， C．如下圖（ 6）以 BE 為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到 a+b=5． 【解答】 （ 1）解： ∵∠ A=90176。， ∠ AOB=60176。， OB=2 ， ∴∠ B=30176。， ∴ OA= OB= ， 由勾股定理得： AB=3， ∵ OC 平分 ∠ AOB， ∴∠ AOC=∠ BOC=30176。=∠ B， ∴ OC=BC， 在 △ AOC 中， AO2+AC2=CO2， ∴ （ ） 2+（ 3﹣ OC） 2=OC2， ∴ OC=2=BC， 答： OC=2， BC=2． （ 2）解： ①如圖（ 1），當 P 在 BC 上， Q 在 OC 上時， 0＜ t＜ 2， 則 CP=2﹣ t， CQ=t， 過 P 作 PH⊥ OC 于 H， ∠ HCP=60176。， ∠ HPC=30176。， ∴ CH= CP= （ 2﹣ t）， HP= （ 2﹣ t）， ∴ S△ CPQ= CQ PH= t （ 2﹣ t）， 即 S=﹣ t2+ t； ②當 t=2 時， P 在 C 點， Q 在 O 點，此時， △ CPQ 不存在， ∴ S=0， ③如圖（ 2）當 P 在 OC 上， Q 在 ON 上時 2＜ t＜ 4， 過 P 作 PG⊥ ON 于 G，過 C 作 CZ⊥ ON 于 Z， ∵ CO=2， ∠ NOC=60176。， ∴ CZ= ， CP=t﹣ 2， OQ=t﹣ 2， ∠ NOC=60176。， ∴∠ GPO=30176。， ∴ OG= OP= （ 4﹣ t）， PG= （ 4﹣ t）， ∴ S△ CPQ=S△ COQ﹣ S△ OPQ= （ t﹣ 2） ﹣ （ t﹣ 2） （ 4﹣ t）， 即 S= t2﹣ t+ ． ④當 t=4 時， P 在 O 點， Q 在 ON 上，如圖（ 3） 過 C 作 CM⊥ OB 于 M， CK⊥ ON 于 K， ∵∠ B=30176。，由（ 1）知 BC=2， ∴ CM= BC=1， 有勾股定理得： BM= ， ∵ OB=2 ， ∴ OM=2 ﹣ = =CK， ∴ S= PQ CK= 2 = ； 綜合上述： S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式是： ； （ 3）過 B 作 BB1⊥ OC，垂足為 C1，與 OA 的延長線交于 B1， 作 B1D⊥ OB，垂足為 D，與 OC 交于點 P，此時 BP+PD=B1D（最短）， 由題可得： △ OBB1 為正三角形， 當 P 與 C 重合， D 為 OB 中點， PD=CA=1， BP+PD=3， ①當點 Q 在 OC 上時，由 PQ 與 EB 交于點 O?BPQE 不可能為平行四邊形， ②當點 Q 在直線 ON 上時， A．如圖（ 4）以 BQ 為對角線， ∵ QE∥ PB． QE=PB， E 與 D 重合， ∴ OQ=PD=1， 此時 a+b=5， B．如下圖（ 5）以 BP 為對角線