【正文】 學習中，我們了解了借助太陽光線、利用標桿、平面鏡等可以測量建筑物的高度．綜合實踐活動課上，數學王老師讓同學制作了一種簡單測角儀：把一根細線固定在量角器的圓心處，細線的另一端系一個重物（如圖1）；將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到需測量物體的頂端，這樣可以得出需測量物體的仰角α的度數（如圖2，3）．利用這種簡單測角儀，也可以幫助我們測量一些建筑物的高度．天壇是世界上最大的祭天建筑群，1998年被確認為世界…文化遺產．它以嚴謹的建筑分布，奇特的建筑構造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世．祈年殿是天壇主體建筑，又稱祈谷殿（如圖4）．采用的是上殿下屋的構造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦為藍色，象征藍天．祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇．請你利用所學習的數學知識，設計一個測量方案，解決“測量天壇祈年殿的高度”的問題．要求：（1）寫出所使用的測量工具；（2）畫出測量過程中的幾何圖形，并說明需要測量的幾何量；（3）寫出求天壇祈年殿高度的思路．【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題．【分析】根據題意畫出圖形，根據正切的概念解答即可．【解答】解：（1）測量工具有：簡單測角儀，測量尺；（2）設CD表示祈年殿的高度，測量過程的幾何圖形如圖所示；需要測量的幾何量如下：①在點A，點B處用測角儀測出仰角α，β；②測出A，B兩點之間的距離s；（3）設CD的高度為x m．在Rt△DBC中，在Rt△DAC中，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．　25．如圖，△ABC內接于⊙O，直徑DE⊥AB于點F，交BC于點 M，DE的延長線與AC的延長線交于點N，連接AM． （1）求證：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15176。，求BC的長．【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【分析】（1）由垂徑定理可求得AF=BF，可知DE為AB的垂直平分線，可得AM=BM；（2）連接AO，BO，可求得∠ACB=60176。，可求得∠AOF，由DE的長可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，則可求得BC的長．【解答】（1）證明：∵直徑DE⊥AB于點F，∴AF=BF，∴AM=BM；（2）連接AO，BO，如圖，由（1）可得 AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45176。，∴∠CMN=∠BMF=45176。，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15176。，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60176。，即∠ACB=60176。，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60176。．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．　26．閱讀下列材料：有這樣一個問題：關于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0（a＞0）有兩個不相等的且非零的實數根．探究a，b，c滿足的條件．小明根據學習函數的經驗，認為可以從二次函數的角度看一元二次方程，下面是小明的探究過程：①設一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）對應的二次函數為y=ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函數圖象，可以得到相應的一元二次中a，b，c滿足的條件，列表如下：方程根的幾何意義：請將（2）補充完整方程兩根的情況對應的二次函數的大致圖象a，b，c滿足的條件方程有兩個不相等的負實根　方程有一個負實根，一個正實根　方程有兩個不相等的正實根　　　?。?）參考小明的做法，把上述表格補充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一個負實根，一個正實根，且負實根大于﹣1，求實數m的取值范圍．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數圖象與系數的關系．【分析】（1）由二次函數與一元二次方程的關系以及二次函數與系數的關系容易得出答案；（2）根據題意得出關于m的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：（1）補全表格如下：方程兩根的情況二次函數的大致圖象得出的結論方程有一個負實根，一個正實根故答案為：方程有一個負實根，一個正實根，；（2）解：設一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0對應的二次函數為：y=x2﹣（2m+3）x﹣4m，∵一元二次方程mx2+（2m﹣3）x﹣4=0有一個負實根，一個正實根，且負實根大于﹣1，∴解得0＜m＜2．∴m的取值范圍是0＜m＜2．　27．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于點A，B（A在B的左側）．（1）拋物線的對稱軸為直線x=﹣3，AB=4．求拋物線的表達式；（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經過點O，且與x正半軸交于點C，記平移后的拋物線頂點為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標；（3）當m=4時，拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷y1與y2的大小，并說明理由．【考點】二次函數綜合題．【分析】（1）先根據拋物線和x軸的交點及線段的長，求出拋物線的解析式；（2）根據平移后拋物線的特點設出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質求出拋物線解析式；（3）根據拋物線的解析式判斷出點M，N的大概位置，再關鍵點M，N的橫坐標的范圍即可得出結論．【解答】解：（1）拋物線 y=﹣x2+mx+n的對稱軸為直線x=﹣3，AB=4．∴點 A（﹣5，0），點B（﹣1，0）．∴拋物線的表達式為y=﹣（x+5）（ x+1）∴y=﹣x2﹣6x﹣5．（2）如圖1，依題意，設平移后的拋物線表達式為：y=﹣x2+bx．∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x正半軸交于點C（b，0）．∴b＞0．記平移后的拋物線頂點為P，∴點P的坐標（，﹣+），∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴點P的坐標（1，1）．（3）如圖2，當m=4時，拋物線表達式為：y=﹣x2+4x+n．∴拋物線的對稱軸為直線 x=2．∵點M（x1，y1）和N（x2，y2）在拋物線上，且x1＜2，x2＞2，∴點M在直線x=2的左側，點N在直線x=2的右側．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴點P到直線x=2的距離比點M到直線x=2的距離比點N到直線x=2的距離近，∴y1＞y2．　28．在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，AC=BC，CD為AB邊上的中線．在Rt△AEF中，∠AEF=90176。，AE=EF，AF＜AC．連接BF，M，N分別為線段AF，BF的中點，連接MN．（1）如圖1，點F在△ABC內，求證：CD=MN；（2）如圖2，點F在△ABC外，依題意補全圖2，連接CN，EN，判斷CN與EN的數量關系與位置關系，并加以證明；（3）將圖1中的△AEF繞點A旋轉，若AC=a，AF=b（b＜a），直接寫出EN的最大值與最小值．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線即可；（2）構造出△EMN≌△DNC進而利用互余即可得出結論；（3）借助（2）的結論，先判斷出點N是以點D為圓心，為半徑的圓上，即可得出結論．【解答】解：（1）證明：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線．∴CD=AB．在△ABF中，點M，N分別是邊AF，BF的中點，∴MN=AB，∴CD=MN．（2）答：CN與EN的數量關系CN=EN，CN與EN的位置關系CN⊥EN．證明：連接EM，DN，如圖．與（1）同理可得 CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊上的中線，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可證EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90176。．∵D，M，N分別為邊AB，AF，BF的中點，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10176。，∴∠2+∠3+∠FMN=90176。．∴∠2+∠3+∠DNM=90176。，即∠CNE=90176。．∴CN⊥EN．（3）點N是以點D為圓心，為半徑的圓上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD為AB邊上的中線．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由（2）知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即：EN的最大值為，最小值為．　29．在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大，稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”．直線l與⊙C相離，點Q在直線l上運動，當點Q關于⊙C的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關于⊙C的“視角”．（1）如圖，⊙O的半徑為1，①已知點A（1，1），直接寫出點A關于⊙O的“視角”；已知直線y=2，直接寫出直線y=2關于⊙O的“視角”；②若點B關于⊙O的“視角”為60176。，直接寫出一個符合條件的B點坐標；（2）⊙C的半徑為1，①點C的坐標為（1，2），直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（﹣2+1，0），若直線l關于⊙C的“視角”為60176。，求k的值；②圓心C在x軸正半軸上運動，若直線y=x+關于⊙C的“視角”大于120176。，直接寫出圓心C的橫坐標xC的取值范圍．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．點A關于⊙O的“視角”就是兩條切線的夾角．∠MPN就是直接寫出直線y=2關于⊙O的“視角”；②由①可知，點P關于⊙O的“視角”為60176。，根據對稱性即可推出點B坐標．（2）①對于⊙C外的點P，點P關于⊙C的“視角”為60176。，則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線l關于⊙C的“視角”為60176。，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點，推出CP⊥直線l，則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖所示．作CH⊥x軸于點H，想辦法求出點P坐標即可解決問題．②如圖2中，當⊙C與直線y=x+相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，想辦法求出點C坐標，如圖3中，設直線y=x+關于⊙C的“視角”為120176。，求出此時的點C坐標，即可解決問題．【解答】解：（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．∵A（1，1），⊙O的半徑為1，∴四邊形AEOF是正方形，∴點A關于⊙O的“視角”為∠EAF=90176。，設直線y=2與y軸的交點為P，過點P作⊙O的切線，切點分別為M、N．在Rt△POM中，∵PO=2OM，∴∠OPM=30176。，同理∠OPA=30176。，∴∠MPN=60176。，∴直線y=2關于⊙O的“視角”為60176。，故答案分別為90176。，60176。．②由①可知，點P關于⊙O的“視角”為60176。，∴B（0，2），根據對稱性點B得到坐標還可以為（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本題答案不唯一）（2）解：①如圖1中，∵直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（﹣2+1，0），∴（﹣2+1）k+b=0，∴b=2k﹣k，∴直線l：y=kx+2k﹣k，對于⊙C外的點P，點P關于⊙C的“視角”為60176。，則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線l關于⊙C的“視角”為60176。，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點．∴CP⊥直線l．則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖1所示．作CH⊥x軸于點H，∴點H的坐標為（1，0），∴DH=．∴∠CDH=30176。，∠PDH=60176。，可求得點P的坐標（﹣+1，3）．∴3=（﹣+1）k+2k﹣k，∴k=．②如圖2中，當⊙C與直線y=x+相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，∵直線y=x+與x軸的交點為A（﹣1，0），與y軸的交點為（0，），∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60176。，∵PC⊥AP，在Rt△APC中，PC=1，∴AC=PC247。cos30176。=，∴OC=﹣1，如圖3中，設直線y=x+關于⊙C的“視角”為120176。，作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切線，E、F是切點，則∠CPE=60176。，PC=CE247。sin60176。=，在Rt△APC中，AC=PC247。sin60176。=，∴OC=﹣1=，∴直線y=x+關于⊙C的“視角”大于120176。時，圓心C的橫坐標xC的取值范圍﹣1＜xC＜．　第69頁（共69頁）