【正文】 學(xué)習(xí)中，我們了解了借助太陽(yáng)光線(xiàn)、利用標(biāo)桿、平面鏡等可以測(cè)量建筑物的高度．綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制作了一種簡(jiǎn)單測(cè)角儀：把一根細(xì)線(xiàn)固定在量角器的圓心處，細(xì)線(xiàn)的另一端系一個(gè)重物（如圖1）；將量角器拿在眼前，使視線(xiàn)沿著量角器的直徑剛好看到需測(cè)量物體的頂端，這樣可以得出需測(cè)量物體的仰角α的度數(shù)（如圖2，3）．利用這種簡(jiǎn)單測(cè)角儀，也可以幫助我們測(cè)量一些建筑物的高度．天壇是世界上最大的祭天建筑群，1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn)．它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ植?，奇特的建筑?gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世．祈年殿是天壇主體建筑，又稱(chēng)祈谷殿（如圖4）．采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦為藍(lán)色，象征藍(lán)天．祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇．請(qǐng)你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，解決“測(cè)量天壇祈年殿的高度”的問(wèn)題．要求：（1）寫(xiě)出所使用的測(cè)量工具；（2）畫(huà)出測(cè)量過(guò)程中的幾何圖形，并說(shuō)明需要測(cè)量的幾何量；（3）寫(xiě)出求天壇祈年殿高度的思路．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)正切的概念解答即可．【解答】解：（1）測(cè)量工具有：簡(jiǎn)單測(cè)角儀，測(cè)量尺；（2）設(shè)CD表示祈年殿的高度，測(cè)量過(guò)程的幾何圖形如圖所示；需要測(cè)量的幾何量如下：①在點(diǎn)A，點(diǎn)B處用測(cè)角儀測(cè)出仰角α，β；②測(cè)出A，B兩點(diǎn)之間的距離s；（3）設(shè)CD的高度為x m．在Rt△DBC中，在Rt△DAC中，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．　25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑DE⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn) M，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，連接AM． （1）求證：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15176。，求BC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【分析】（1）由垂徑定理可求得AF=BF，可知DE為AB的垂直平分線(xiàn)，可得AM=BM；（2）連接AO，BO，可求得∠ACB=60176。，可求得∠AOF，由DE的長(zhǎng)可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，則可求得BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵直徑DE⊥AB于點(diǎn)F，∴AF=BF，∴AM=BM；（2）連接AO，BO，如圖，由（1）可得 AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45176。，∴∠CMN=∠BMF=45176。，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15176。，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60176。，即∠ACB=60176。，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60176。．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．　26．閱讀下列材料：有這樣一個(gè)問(wèn)題：關(guān)于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0（a＞0）有兩個(gè)不相等的且非零的實(shí)數(shù)根．探究a，b，c滿(mǎn)足的條件．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小明的探究過(guò)程：①設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次中a，b，c滿(mǎn)足的條件，列表如下：方程根的幾何意義：請(qǐng)將（2）補(bǔ)充完整方程兩根的情況對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a，b，c滿(mǎn)足的條件方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根　方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根　方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根　　　?。?）參考小明的做法，把上述表格補(bǔ)充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于﹣1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系容易得出答案；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：（1）補(bǔ)全表格如下：方程兩根的情況二次函數(shù)的大致圖象得出的結(jié)論方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根故答案為：方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，；（2）解：設(shè)一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為：y=x2﹣（2m+3）x﹣4m，∵一元二次方程mx2+（2m﹣3）x﹣4=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于﹣1，∴解得0＜m＜2．∴m的取值范圍是0＜m＜2．　27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=﹣x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）．（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣3，AB=4．求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）平移（1）中的拋物線(xiàn)，使平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與x正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m=4時(shí)，拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷y1與y2的大小，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)及線(xiàn)段的長(zhǎng)，求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）根據(jù)平移后拋物線(xiàn)的特點(diǎn)設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出拋物線(xiàn)解析式；（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式判斷出點(diǎn)M，N的大概位置，再關(guān)鍵點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）拋物線(xiàn) y=﹣x2+mx+n的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣3，AB=4．∴點(diǎn) A（﹣5，0），點(diǎn)B（﹣1，0）．∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣（x+5）（ x+1）∴y=﹣x2﹣6x﹣5．（2）如圖1，依題意，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y=﹣x2+bx．∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，拋物線(xiàn)與x正半軸交于點(diǎn)C（b，0）．∴b＞0．記平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為P，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（，﹣+），∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，1）．（3）如圖2，當(dāng)m=4時(shí)，拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y=﹣x2+4x+n．∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=2．∵點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2）在拋物線(xiàn)上，且x1＜2，x2＞2，∴點(diǎn)M在直線(xiàn)x=2的左側(cè)，點(diǎn)N在直線(xiàn)x=2的右側(cè)．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)x=2的距離比點(diǎn)M到直線(xiàn)x=2的距離比點(diǎn)N到直線(xiàn)x=2的距離近，∴y1＞y2．　28．在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，AC=BC，CD為AB邊上的中線(xiàn)．在Rt△AEF中，∠AEF=90176。，AE=EF，AF＜AC．連接BF，M，N分別為線(xiàn)段AF，BF的中點(diǎn)，連接MN．（1）如圖1，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)，求證：CD=MN；（2）如圖2，點(diǎn)F在△ABC外，依題意補(bǔ)全圖2，連接CN，EN，判斷CN與EN的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；（3）將圖1中的△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若AC=a，AF=b（b＜a），直接寫(xiě)出EN的最大值與最小值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【分析】（1）利用直角三角形的斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半和三角形的中位線(xiàn)即可；（2）構(gòu)造出△EMN≌△DNC進(jìn)而利用互余即可得出結(jié)論；（3）借助（2）的結(jié)論，先判斷出點(diǎn)N是以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）證明：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線(xiàn)．∴CD=AB．在△ABF中，點(diǎn)M，N分別是邊AF，BF的中點(diǎn)，∴MN=AB，∴CD=MN．（2）答：CN與EN的數(shù)量關(guān)系CN=EN，CN與EN的位置關(guān)系CN⊥EN．證明：連接EM，DN，如圖．與（1）同理可得 CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊上的中線(xiàn)，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可證EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90176。．∵D，M，N分別為邊AB，AF，BF的中點(diǎn)，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10176。，∴∠2+∠3+∠FMN=90176。．∴∠2+∠3+∠DNM=90176。，即∠CNE=90176。．∴CN⊥EN．（3）點(diǎn)N是以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD為AB邊上的中線(xiàn)．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由（2）知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即：EN的最大值為，最小值為．　29．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對(duì)于⊙C及⊙C外一點(diǎn)P，M，N是⊙C上兩點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大，稱(chēng)∠MPN為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”．直線(xiàn)l與⊙C相離，點(diǎn)Q在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于⊙C的“視角”最大時(shí)，則稱(chēng)這個(gè)最大的“視角”為直線(xiàn)l關(guān)于⊙C的“視角”．（1）如圖，⊙O的半徑為1，①已知點(diǎn)A（1，1），直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”；已知直線(xiàn)y=2，直接寫(xiě)出直線(xiàn)y=2關(guān)于⊙O的“視角”；②若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的“視角”為60176。，直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）⊙C的半徑為1，①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），直線(xiàn)l：y=kx+b（k＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（﹣2+1，0），若直線(xiàn)l關(guān)于⊙C的“視角”為60176。，求k的值；②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線(xiàn)y=x+關(guān)于⊙C的“視角”大于120176。，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）①如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為E、F．點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”就是兩條切線(xiàn)的夾角．∠MPN就是直接寫(xiě)出直線(xiàn)y=2關(guān)于⊙O的“視角”；②由①可知，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”為60176。，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可推出點(diǎn)B坐標(biāo)．（2）①對(duì)于⊙C外的點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”為60176。，則點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線(xiàn)l關(guān)于⊙C的“視角”為60176。，此時(shí)，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上與圓心C的距離最短的點(diǎn)，推出CP⊥直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線(xiàn)，如圖所示．作CH⊥x軸于點(diǎn)H，想辦法求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．②如圖2中，當(dāng)⊙C與直線(xiàn)y=x+相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接PC則PC⊥AP，想辦法求出點(diǎn)C坐標(biāo)，如圖3中，設(shè)直線(xiàn)y=x+關(guān)于⊙C的“視角”為120176。，求出此時(shí)的點(diǎn)C坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）①如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為E、F．∵A（1，1），⊙O的半徑為1，∴四邊形AEOF是正方形，∴點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”為∠EAF=90176。，設(shè)直線(xiàn)y=2與y軸的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N．在Rt△POM中，∵PO=2OM，∴∠OPM=30176。，同理∠OPA=30176。，∴∠MPN=60176。，∴直線(xiàn)y=2關(guān)于⊙O的“視角”為60176。，故答案分別為90176。，60176。．②由①可知，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”為60176。，∴B（0，2），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)B得到坐標(biāo)還可以為（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本題答案不唯一）（2）解：①如圖1中，∵直線(xiàn)l：y=kx+b（k＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（﹣2+1，0），∴（﹣2+1）k+b=0，∴b=2k﹣k，∴直線(xiàn)l：y=kx+2k﹣k，對(duì)于⊙C外的點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”為60176。，則點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線(xiàn)l關(guān)于⊙C的“視角”為60176。，此時(shí)，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上與圓心C的距離最短的點(diǎn)．∴CP⊥直線(xiàn)l．則直線(xiàn)l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線(xiàn)，如圖1所示．作CH⊥x軸于點(diǎn)H，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0），∴DH=．∴∠CDH=30176。，∠PDH=60176。，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣+1，3）．∴3=（﹣+1）k+2k﹣k，∴k=．②如圖2中，當(dāng)⊙C與直線(xiàn)y=x+相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接PC則PC⊥AP，∵直線(xiàn)y=x+與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，），∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60176。，∵PC⊥AP，在Rt△APC中，PC=1，∴AC=PC247。cos30176。=，∴OC=﹣1，如圖3中，設(shè)直線(xiàn)y=x+關(guān)于⊙C的“視角”為120176。，作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切線(xiàn)，E、F是切點(diǎn)，則∠CPE=60176。，PC=CE247。sin60176。=，在Rt△APC中，AC=PC247。sin60176。=，∴OC=﹣1=，∴直線(xiàn)y=x+關(guān)于⊙C的“視角”大于120176。時(shí)，圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍﹣1＜xC＜．　第69頁(yè)（共69頁(yè)）