【正文】 點 C 是線段 AB 上， AC=10cm， CB=8cm， M， N 分別是 AC， BC 的中點． （ 1）求線段 MN 的長． （ 2）若 C 為線段 AB 上任一點，滿足 AC+CB=acm，其他條件不變，不用計算你猜出 MN 的長度嗎？ （ 3）若 C 在線段 AB 的延長線上，且滿足 AC﹣ BC=acm， M， N 仍分別為 AC， BC的中點，你還能猜出線段 MN 的長度嗎？ （ 4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？ 【考點】 兩點間的距離． 【分析】 （ 1）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點，找到線段之間的關系，即可求出結果； （ 2）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點，找到線段之間的關系，即可得出結論； （ 3）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點，找到線段之間的關系，即可得出結論； （ 4）分析上面結論，即可得出 “MN 的長度與 C 點的位置無關，只與 AB 的長度有關 ”這一結論． 【解答】 解：（ 1） MN=MC+CN= AC+ CB= 10+ 8=5+4=9cm． 答：線段 MN 的長為 9cm． （ 2） MN=MC+CN= AC+ CB= （ AC+CB） = cm． （ 3）如圖， MN=AC﹣ AM﹣ NC=AC﹣ AC﹣ BC= （ AC﹣ BC） = cm． （ 4）當 C 點在 AB 線段上時， AC+BC=AB， 當 C 點在 AB 延長線上時， AC﹣ BC=AB， 故找到規(guī)律， MN 的長度與 C 點的位置無關，只與 AB 的長度有關． 18．先化簡，再求值：已知 x2﹣（ 2x2﹣ 4y） +2（ x2﹣ y），其中 x=﹣ 1， y= ． 【考點】 整式的加減 —化簡求值． 【分析】 先去括號得到原式 =x2﹣ 2x2+4y+2x2﹣ 2y，再合并同類項得 x2+2y，然后把 x=﹣ 1， y= 代入計算． 【解答】 解：原式 =x2﹣ 2x2+4y+2x2﹣ 2y =x2+2y， 當 x=﹣ 1， y= 時，原式 =（﹣ 1） 2+2 =2． 五、（本大題共兩題，每題 10 分，共 20 分） 19．一次數(shù)學課上，老師要求學生根據(jù)圖示張鑫與李亮的對話內(nèi)容，展開如下活動： 活動 1：仔細閱讀對話內(nèi)容 活動 2：根據(jù)對話內(nèi)容，提出一些數(shù)學問題，并解答． 下面是學生提出的兩個問題，請你列方程解答． （ 1）如果張鑫沒有辦卡，她需要付多少錢？ （ 2）你認為買多少元錢的書辦卡就便宜？ 【考點】 一元一次方程的應用． 【分析】 （ 1）設如果張鑫沒有辦卡，她需要付 x 元，根據(jù)關系式為：書的原價﹣12=書的原價 +20 列出一元一次方程即可； （ 2）設買 y 元的書辦卡與不辦卡的花費一樣多，根據(jù)題意得到 y=20+，求出y 即可． 【解答】 （ 1）解：設如果張鑫沒有辦卡，她需要付 x 元， 則有： 20+=x﹣ 12， 整理方程得： =32， 解得： x=160， 答：如果張鑫沒有辦卡，她需要付 160 元； （ 2）解：設買 y 元的書辦卡與不辦卡的花費一樣多， 則有： y=20+， 解得 y=100． 所以當購買的書的總價多于 100 元時，辦卡便宜， 答：我認為買多于 100 元錢的書辦卡就便宜． 20．一般情況下 不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如： a=b=0．我們稱使得 成立的一對數(shù) a， b 為 “相伴數(shù)對 ”，記為（ a， b）． （ 1）若（ 1， b）是 “相伴數(shù)對 ”，求 b 的值； （ 2）寫出一個 “相伴數(shù)對 ”（ a， b），其中 a≠ 0，且 a≠ 1； （ 3）若（ m， n）是 “相伴數(shù)對 ”，求代數(shù)式 m﹣ ﹣ [4m﹣ 2（ 3n﹣ 1） ]的值． 【考點】 整式的加減；代數(shù)式求值． 【分析】 （ 1）利用 “相伴數(shù)對 ”的定義化簡，計算即可求出 b 的值； （ 2）寫出一個 “相伴數(shù)對 ”即可； （ 3）利用 “相伴數(shù)對 ”定義得到 9m+4n=0，原式去括號整理后代入計算即可求出值． 【解答】 解：（ 1） ∵ （ 1， b）是 “相伴數(shù)對 ”， ∴ + = ， 解得： b=﹣ ； （ 2）（ 2，﹣ ）（答案不唯一）； （ 3）由（ m， n）是 “相伴數(shù)對 ”可得： + = ，即 = ， 即 9m+4n=0， 則原式 =m﹣ n﹣ 4m+6n﹣ 2=﹣ n﹣ 3m﹣ 2=﹣ ﹣ 2=﹣ 2． 六、（本題 12 分） 21．如圖所示，是一列用若干根火柴棒擺成的由正方形組成的圖案． （ 1）完成下表的填空： 正方形個數(shù) 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根數(shù) 4 7 10 13 （ 2）某同學用若干根火柴棒按如上圖列的方式擺圖案，擺完了第 1 個后，擺第2 個，接著擺第 3 個，第 4 個， …，當他擺完第 n 個圖案時剩下了 20 根火柴棒，要剛好擺完第 n+1 個圖案還差 2 根．問最后擺的圖案是第幾個圖案？ 【考點】 規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】 （ 1）易得組成一個正方形都需要 4 根火柴棒，找到組成 1 個以上的正方形需要的火柴棒的根數(shù)在 4 的基礎上增加幾個 3 即可． （ 2）根據(jù)（ 1）的規(guī)律得出 3（ n+1） +1=22，解出 n 即可． 【解答】 解：（ 1）按如圖的方式擺放，每增加 1 個正方形火花圖案，火柴棒的根數(shù)相應地增加 3 根， 若擺成 5 個、 6 個、 n 個同樣大小的正方形火花圖案，則相應的火柴棒的根數(shù)分別是 16 根、 19 根、（ 3n+1）根． 正方形個數(shù) 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根數(shù) 4 7 10 13 16 19 3n+1 （ 2） ∵ 當他擺完第 n 個圖案時剩下了 20 根火柴棒，要剛好擺完第 n+1 個圖案還差 2根． ∴ 3（ n+1） +1=22， 解得 n=6， ∴ 這位同學最后擺的圖案是第 7 個圖案． 七、（本題 12 分） 22．為弘揚中華優(yōu)秀文化傳統(tǒng)，某中學在 2022 年元旦前夕，由校團委組織全校學生開展一次書法比賽，為了表彰在書法比賽中優(yōu)秀學生，計劃購買鋼筆 30 支，毛筆 20 支，共需 1070 元，其中每支毛筆比鋼筆貴 6 元． （ 1）求鋼筆和毛筆的單價各為多少元？ （ 2） ① 后來校團委決定調(diào)整設獎方案，擴大表彰面，需要購買上面的兩種筆共60 支（每種筆的單價不變）．張老師做完預算后，向財務處王老師說： “我這次買這兩種筆需支領 1322 元． ”王老師算了一下，說： “如果你用這些 錢只買這兩種筆，那么帳肯定算錯了． ”請你用學過的方程知識解釋王老師為什么說他用這些錢只買這兩種筆的帳算錯了． ② 張老師突然想起，所做的預算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價為不大于 10 元的整數(shù)，請通過計算，直接寫出簽字筆的單價可能為 2或 8 元． 【考點】 一元一次方程的應用． 【分析】 （ 1）設鋼筆得單價為 x 元，則毛筆單價為（ x+4）元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結果； （ 2） ① 設單價為 19 元得鋼筆 y 支，則單價為 25 元的毛筆為（ 60﹣ y）支，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可 得到結果； ② 設單價為 19 元的鋼筆 z 支，簽字筆的單價為 a 元，根據(jù)題意列出關系式，根據(jù) z， a 為整數(shù)，確定出 a 與 z 的值，即可得到結果． 【解答】 解：（ 1）設鋼筆的單價為 x 元，則毛筆的單價為（ x+6）元， 由題意得： 30x+20（ x+6） =1070， 解得： x=19， 則 x+6=25， 答：鋼筆的單價為 19 元，毛筆的單價為 25 元； （ 2） ① 設單價為 19 元的鋼筆 y 支，則單價為 25 元的毛筆為（ 60﹣ y）支， 根據(jù)題意得： 19y+25（ 60﹣ y） =1322， 解得： y= ， 不合題意，即張老師肯定搞錯了； ② 設單價為 19 元的鋼筆 z 支，簽字筆的單價為 a 元， 根據(jù)題意得： 19z+25（ 60﹣ z） =1322﹣ a，即 6z=178+a， 由 a， z 都是整數(shù)，且 178+a 應被 6 整除， 經(jīng)驗算當 a=2 時， 6z=180，即 z=30，符合題意； 當 a=8 時， 6z=186，即 z=31，符合題意， 則簽字筆的單價為 2 元或 8 元． 故答案為： 2 或 8． 八、（本題 14 分） 23．如圖 1， O 為直線 AB 上一點，過點 O 作射線 OC， ∠ AOC=30176。，將一直角三角板（ ∠ M=30176。）的直角頂點放在點 O 處，一邊 ON 在射線 OA 上，另一邊 OM與 OC 都在直線 AB 的上方． （ 1）將圖 1 中的三角板繞點 O 以每秒 3176。的速度沿順時針方向旋轉一周．如圖 2，經(jīng)過 t 秒后， OM 恰好平分 ∠ BOC． ① 求 t 的值； ② 此時 ON 是否平分 ∠ AOC？請說明理由； （ 2）在（ 1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線 OC 也繞 O 點以每秒 6176。的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖 3，那么經(jīng)過多長時間 OC 平分 ∠ MON？請說明理由； （ 3）在（ 2）問的基礎上，經(jīng)過多長時間 OC 平分 ∠ MOB？請畫圖并說明理由． 【考點】 角的計算；角平分線的定義． 【分析】 （ 1）根據(jù)圖形和題意得出 ∠ AON+∠ BOM=90176。， ∠ CON+∠ COM=90176。，再根據(jù) ∠ AON=∠ CON，即可得出 OM 平分 ∠ BOC； （ 2）根據(jù)圖形和題意得出 ∠ AON+∠ BOM=90176。， ∠ CON=∠ COM=45176。，再根據(jù)轉動速度從而得出答案； （ 3）分別根據(jù)轉動速度關系和 OC 平分 ∠ MOB 畫圖即可． 【解答】 解：（ 1） ①∵∠ AON+∠ BOM=90176。， ∠ COM=∠ MOB， ∵∠ AOC=30176。， ∴∠ BOC=2∠ COM=150176。， ∴∠ COM=75176。， ∴∠ CON=15176。， ∴∠ AON=∠ AOC﹣ ∠ CON=30176。﹣ 15176。=15176。， 解得： t=15176。247。 3176。=5 秒； ② 是，理由如下： ∵∠ CON=15176。， ∠ AON=15176。， ∴ ON 平分 ∠ AOC； （ 2） 5 秒時 OC 平分 ∠ MON，理由如下： ∵∠ AON+∠ BOM=90176。， ∠ CON=∠ COM， ∵∠ MON=90176。， ∴∠ CON=∠ COM=45176。， ∵ 三角板繞點 O 以每秒 3176。的速度，射線 OC 也繞 O 點以每秒 6176。的速度旋轉， 設 ∠ AON 為 3t， ∠ AOC 為 30176。+6t， ∵∠ AOC﹣ ∠ AON=45176。， 可得： 6t﹣ 3t=15176。， 解得： t=5 秒； （ 3） OC 平分 ∠ MOB ∵∠ AON+∠ BOM=90176。， ∠ BOC=∠ COM， ∵ 三角板繞點 O 以每秒 3176。的速度，射線 OC 也繞 O 點以每秒 6176。的速度旋轉， 設 ∠ AON 為 3t， ∠ AOC 為 30176。+6t， ∴∠ COM 為 （ 90176。﹣ 3t）， ∵∠ BOM+∠ AON=90176。， 可得： 180176。﹣（ 30176。+6t） = （ 90176。﹣ 3t）， 解得： t= 秒； 如圖：