【正文】 ② 當(dāng) ＜ x≤ 時(shí)， x+ 3x=， 解得： x=62， 此時(shí)兩次購(gòu)書(shū)原價(jià)總和為： 4x=4 62=248； ③ 當(dāng) ＜ x≤ 100 時(shí)， x+ 3x=， 解得： x=74， 此時(shí)兩次購(gòu)書(shū)原價(jià)總和為： 4x=4 74=296． 綜上可知：小麗這兩次購(gòu)書(shū)原價(jià)的總和是 248 或 296 元． 故答案為： 248 或 296． 三、解答題（本大題共兩題，每題 8 分，共 16 分） 15．﹣ 13﹣（ 1﹣ ） [2﹣（﹣ 3） 2]． 【考點(diǎn)】 有理數(shù)的混合運(yùn)算． 【分析】 原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算即可得到結(jié)果． 【解答】 解：原式 =﹣ 1﹣ （ 2﹣ 9） =﹣ 1+ = ． 16．解方程： ． 【考點(diǎn)】 解一元一次方程． 【分析】 這是一個(gè)帶分母的方程，所以要先去分母，再去括號(hào)，最后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為 1，從而得到方程的解． 【解答】 解：去分母得， 2（ x+1）﹣ 4=8+2﹣ x， 去括號(hào)得， 2x+2﹣ 4=8+2﹣ x， 移項(xiàng)得， 2x+x=8+2﹣ 2+4， 合并同類項(xiàng)得， 3x=12， 系數(shù)化為 1 得， x=4． 四、（本大題共兩題，每題 8 分，共 16 分） 17．如圖，點(diǎn) C 是線段 AB 上， AC=10cm， CB=8cm， M， N 分別是 AC， BC 的中點(diǎn)． （ 1）求線段 MN 的長(zhǎng)． （ 2）若 C 為線段 AB 上任一點(diǎn)，滿足 AC+CB=acm，其他條件不變，不用計(jì)算你猜出 MN 的長(zhǎng)度嗎？ （ 3）若 C 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上，且滿足 AC﹣ BC=acm， M， N 仍分別為 AC， BC的中點(diǎn)，你還能猜出線段 MN 的長(zhǎng)度嗎？ （ 4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？ 【考點(diǎn)】 兩點(diǎn)間的距離． 【分析】 （ 1）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可求出結(jié)果； （ 2）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論； （ 3）根據(jù) M， N 分別是 AC， BC 的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論； （ 4）分析上面結(jié)論，即可得出 “MN 的長(zhǎng)度與 C 點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與 AB 的長(zhǎng)度有關(guān) ”這一結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） MN=MC+CN= AC+ CB= 10+ 8=5+4=9cm． 答：線段 MN 的長(zhǎng)為 9cm． （ 2） MN=MC+CN= AC+ CB= （ AC+CB） = cm． （ 3）如圖， MN=AC﹣ AM﹣ NC=AC﹣ AC﹣ BC= （ AC﹣ BC） = cm． （ 4）當(dāng) C 點(diǎn)在 AB 線段上時(shí)， AC+BC=AB， 當(dāng) C 點(diǎn)在 AB 延長(zhǎng)線上時(shí)， AC﹣ BC=AB， 故找到規(guī)律， MN 的長(zhǎng)度與 C 點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與 AB 的長(zhǎng)度有關(guān)． 18．先化簡(jiǎn)，再求值：已知 x2﹣（ 2x2﹣ 4y） +2（ x2﹣ y），其中 x=﹣ 1， y= ． 【考點(diǎn)】 整式的加減 —化簡(jiǎn)求值． 【分析】 先去括號(hào)得到原式 =x2﹣ 2x2+4y+2x2﹣ 2y，再合并同類項(xiàng)得 x2+2y，然后把 x=﹣ 1， y= 代入計(jì)算． 【解答】 解：原式 =x2﹣ 2x2+4y+2x2﹣ 2y =x2+2y， 當(dāng) x=﹣ 1， y= 時(shí)，原式 =（﹣ 1） 2+2 =2． 五、（本大題共兩題，每題 10 分，共 20 分） 19．一次數(shù)學(xué)課上，老師要求學(xué)生根據(jù)圖示張?chǎng)闻c李亮的對(duì)話內(nèi)容，展開(kāi)如下活動(dòng)： 活動(dòng) 1：仔細(xì)閱讀對(duì)話內(nèi)容 活動(dòng) 2：根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，并解答． 下面是學(xué)生提出的兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你列方程解答． （ 1）如果張?chǎng)螞](méi)有辦卡，她需要付多少錢(qián)？ （ 2）你認(rèn)為買(mǎi)多少元錢(qián)的書(shū)辦卡就便宜？ 【考點(diǎn)】 一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)如果張?chǎng)螞](méi)有辦卡，她需要付 x 元，根據(jù)關(guān)系式為：書(shū)的原價(jià)﹣12=書(shū)的原價(jià) +20 列出一元一次方程即可； （ 2）設(shè)買(mǎi) y 元的書(shū)辦卡與不辦卡的花費(fèi)一樣多，根據(jù)題意得到 y=20+，求出y 即可． 【解答】 （ 1）解：設(shè)如果張?chǎng)螞](méi)有辦卡，她需要付 x 元， 則有： 20+=x﹣ 12， 整理方程得： =32， 解得： x=160， 答：如果張?chǎng)螞](méi)有辦卡，她需要付 160 元； （ 2）解：設(shè)買(mǎi) y 元的書(shū)辦卡與不辦卡的花費(fèi)一樣多， 則有： y=20+， 解得 y=100． 所以當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的書(shū)的總價(jià)多于 100 元時(shí)，辦卡便宜， 答：我認(rèn)為買(mǎi)多于 100 元錢(qián)的書(shū)辦卡就便宜． 20．一般情況下 不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如： a=b=0．我們稱使得 成立的一對(duì)數(shù) a， b 為 “相伴數(shù)對(duì) ”，記為（ a， b）． （ 1）若（ 1， b）是 “相伴數(shù)對(duì) ”，求 b 的值； （ 2）寫(xiě)出一個(gè) “相伴數(shù)對(duì) ”（ a， b），其中 a≠ 0，且 a≠ 1； （ 3）若（ m， n）是 “相伴數(shù)對(duì) ”，求代數(shù)式 m﹣ ﹣ [4m﹣ 2（ 3n﹣ 1） ]的值． 【考點(diǎn)】 整式的加減；代數(shù)式求值． 【分析】 （ 1）利用 “相伴數(shù)對(duì) ”的定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出 b 的值； （ 2）寫(xiě)出一個(gè) “相伴數(shù)對(duì) ”即可； （ 3）利用 “相伴數(shù)對(duì) ”定義得到 9m+4n=0，原式去括號(hào)整理后代入計(jì)算即可求出值． 【解答】 解：（ 1） ∵ （ 1， b）是 “相伴數(shù)對(duì) ”， ∴ + = ， 解得： b=﹣ ； （ 2）（ 2，﹣ ）（答案不唯一）； （ 3）由（ m， n）是 “相伴數(shù)對(duì) ”可得： + = ，即 = ， 即 9m+4n=0， 則原式 =m﹣ n﹣ 4m+6n﹣ 2=﹣ n﹣ 3m﹣ 2=﹣ ﹣ 2=﹣ 2． 六、（本題 12 分） 21．如圖所示，是一列用若干根火柴棒擺成的由正方形組成的圖案． （ 1）完成下表的填空： 正方形個(gè)數(shù) 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根數(shù) 4 7 10 13 （ 2）某同學(xué)用若干根火柴棒按如上圖列的方式擺圖案，擺完了第 1 個(gè)后，擺第2 個(gè)，接著擺第 3 個(gè)，第 4 個(gè)， …，當(dāng)他擺完第 n 個(gè)圖案時(shí)剩下了 20 根火柴棒，要?jiǎng)偤脭[完第 n+1 個(gè)圖案還差 2 根．問(wèn)最后擺的圖案是第幾個(gè)圖案？ 【考點(diǎn)】 規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】 （ 1）易得組成一個(gè)正方形都需要 4 根火柴棒，找到組成 1 個(gè)以上的正方形需要的火柴棒的根數(shù)在 4 的基礎(chǔ)上增加幾個(gè) 3 即可． （ 2）根據(jù)（ 1）的規(guī)律得出 3（ n+1） +1=22，解出 n 即可． 【解答】 解：（ 1）按如圖的方式擺放，每增加 1 個(gè)正方形火花圖案，火柴棒的根數(shù)相應(yīng)地增加 3 根， 若擺成 5 個(gè)、 6 個(gè)、 n 個(gè)同樣大小的正方形火花圖案，則相應(yīng)的火柴棒的根數(shù)分別是 16 根、 19 根、（ 3n+1）根． 正方形個(gè)數(shù) 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根數(shù) 4 7 10 13 16 19 3n+1 （ 2） ∵ 當(dāng)他擺完第 n 個(gè)圖案時(shí)剩下了 20 根火柴棒，要?jiǎng)偤脭[完第 n+1 個(gè)圖案還差 2根． ∴ 3（ n+1） +1=22， 解得 n=6， ∴ 這位同學(xué)最后擺的圖案是第 7 個(gè)圖案． 七、（本題 12 分） 22．為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀文化傳統(tǒng)，某中學(xué)在 2022 年元旦前夕，由校團(tuán)委組織全校學(xué)生開(kāi)展一次書(shū)法比賽，為了表彰在書(shū)法比賽中優(yōu)秀學(xué)生，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)鋼筆 30 支，毛筆 20 支，共需 1070 元，其中每支毛筆比鋼筆貴 6 元． （ 1）求鋼筆和毛筆的單價(jià)各為多少元？ （ 2） ① 后來(lái)校團(tuán)委決定調(diào)整設(shè)獎(jiǎng)方案，擴(kuò)大表彰面，需要購(gòu)買(mǎi)上面的兩種筆共60 支（每種筆的單價(jià)不變）．張老師做完預(yù)算后，向財(cái)務(wù)處王老師說(shuō)： “我這次買(mǎi)這兩種筆需支領(lǐng) 1322 元． ”王老師算了一下，說(shuō)： “如果你用這些 錢(qián)只買(mǎi)這兩種筆，那么帳肯定算錯(cuò)了． ”請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的方程知識(shí)解釋王老師為什么說(shuō)他用這些錢(qián)只買(mǎi)這兩種筆的帳算錯(cuò)了． ② 張老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長(zhǎng)讓他買(mǎi)的一支簽字筆．如果簽字筆的單價(jià)為不大于 10 元的整數(shù)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，直接寫(xiě)出簽字筆的單價(jià)可能為 2或 8 元． 【考點(diǎn)】 一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)鋼筆得單價(jià)為 x 元，則毛筆單價(jià)為（ x+4）元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果； （ 2） ① 設(shè)單價(jià)為 19 元得鋼筆 y 支，則單價(jià)為 25 元的毛筆為（ 60﹣ y）支，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可 得到結(jié)果； ② 設(shè)單價(jià)為 19 元的鋼筆 z 支，簽字筆的單價(jià)為 a 元，根據(jù)題意列出關(guān)系式，根據(jù) z， a 為整數(shù)，確定出 a 與 z 的值，即可得到結(jié)果． 【解答】 解：（ 1）設(shè)鋼筆的單價(jià)為 x 元，則毛筆的單價(jià)為（ x+6）元， 由題意得： 30x+20（ x+6） =1070， 解得： x=19， 則 x+6=25， 答：鋼筆的單價(jià)為 19 元，毛筆的單價(jià)為 25 元； （ 2） ① 設(shè)單價(jià)為 19 元的鋼筆 y 支，則單價(jià)為 25 元的毛筆為（ 60﹣ y）支， 根據(jù)題意得： 19y+25（ 60﹣ y） =1322， 解得： y= ， 不合題意，即張老師肯定搞錯(cuò)了； ② 設(shè)單價(jià)為 19 元的鋼筆 z 支，簽字筆的單價(jià)為 a 元， 根據(jù)題意得： 19z+25（ 60﹣ z） =1322﹣ a，即 6z=178+a， 由 a， z 都是整數(shù)，且 178+a 應(yīng)被 6 整除， 經(jīng)驗(yàn)算當(dāng) a=2 時(shí)， 6z=180，即 z=30，符合題意； 當(dāng) a=8 時(shí)， 6z=186，即 z=31，符合題意， 則簽字筆的單價(jià)為 2 元或 8 元． 故答案為： 2 或 8． 八、（本題 14 分） 23．如圖 1， O 為直線 AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作射線 OC， ∠ AOC=30176。）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處，一邊 ON 在射線 OA 上，另一邊 OM與 OC 都在直線 AB 的上方． （ 1）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 以每秒 3176。的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖 3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間 OC 平分 ∠ MON？請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）在（ 2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間 OC 平分 ∠ MOB？請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 角的計(jì)算；角平分線的定義． 【分析】 （ 1）根據(jù)圖形和題意得出 ∠ AON+∠ BOM=90176。再根據(jù) ∠ AON=∠ CON，即可得出 OM 平分 ∠ BOC； （ 2）根據(jù)圖形和題意得出 ∠ AON+∠ BOM=90176。再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度從而得出答案； （ 3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和 OC 平分 ∠ MOB 畫(huà)圖即可． 【解答】 解：（ 1） ①∵∠ AON+∠ BOM=90176。 ∴∠ BOC=2∠ COM=150176。 ∴∠ CON=15176。﹣ 15176。 解得： t=15176。 3176。 ∠ AON=15176。 ∠ CON=∠ COM， ∵∠ MON=90176。 ∵ 三角板繞點(diǎn) O 以每秒 3176。的速度旋轉(zhuǎn)， 設(shè) ∠ AON 為 3t， ∠ AOC 為 30176。 可得： 6t﹣ 3t=15176。 ∠ BOC=∠ COM， ∵ 三角板繞點(diǎn) O 以每秒 3176。的速度旋轉(zhuǎn)， 設(shè) ∠ AON 為 3t， ∠ AOC 為 30176。﹣ 3t）， ∵∠ BOM+∠ AON=90176。﹣（ 30176。﹣ 3t）， 解得： t= 秒； 如圖：