【正文】 =OC，然后由四邊形 ABCD 是矩形，易證得 △ AOF≌△ COE，則可得 AF=CE，繼而證得結論； （ 2）由四邊形 ABCD 是矩形，易求得 CD 的長，然后利用三角函數(shù)求得 CF 的長，繼而求得答案． 【解答】 （ 1）證明 ： ∵ O 是 AC 的中點，且 EF⊥ AC， ∴ AF=CF， AE=CE， OA=OC， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ AFO=∠ CEO， 在 △ AOF 和 △ COE 中， ， ∴△ AOF≌△ COE（ AAS）， ∴ AF=CE， ∴ AF=CF=CE=AE， ∴ 四邊形 AECF 是菱形； （ 2）解： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ CD=AB= ， 在 Rt△ CDF 中， cos∠ DCF= ， ∠ DCF=30176。， ∴ CF= =2， ∵ 四邊形 AECF 是菱形， ∴ CE=CF=2， ∴ 四邊形 AECF 是的面積為： EC?AB=2 ． 【點評】 此題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質以及三角函數(shù)等知識．注意證得 △ AOF≌△ COE 是關鍵． 25．如圖，轉盤 A 的三個扇形面積相等，分別標有數(shù)字 1， 2， 3，轉盤 B 的四個扇形面積相等，分別有數(shù)字 1， 2， 3， 4．轉動 A、 B 轉盤各一次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的兩個數(shù)字相乘（當指針落在四個扇形的交線上時，重新轉動轉盤）． （ 1）用樹狀圖或列表法列出所有可能出現(xiàn)的結果； （ 2）求兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率． 【考點】 列表法與樹狀圖法． 【分析】 （ 1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果； （ 2）由兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 解：（ 1）畫樹狀圖得： 則共有 12 種等可能的結果； （ 2） ∵ 兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的 4 種情況， ∴ 兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率為： = ． 【點評】 此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 26．某地區(qū) 2022 年投入教育經費 2900 萬元， 2022 年投入教育經費 3509 萬元． （ 1）求 2022 年至 2022 年該地區(qū)投入教育經費的年平均 增長率； （ 2）按照義務教育法規(guī)定，教育經費的投入不低于國民生產總值的百分之四，結合該地區(qū)國民生產總值的增長情況，該地區(qū)到 2022 年需投入教育經費 4250萬元，如果按（ 1）中教育經費投入的增長率，到 2022 年該地區(qū)投入的教育經費是否能達到 4250 萬元？請說明理由． （參考數(shù)據(jù)： =， =， =， =） 【考點】 一元二次方程的應用． 【分析】 （ 1）一般用增長后的量 =增長前的量 （ 1+增長率）， 2022 年要投入教育經費是 2900（ 1+x）萬元，在 2022 年的基礎上再增長 x，就是 2022 年的教育經費數(shù)額，即可列出方程求解． （ 2）利用（ 1）中求得的增長率來求 2022 年該地區(qū)將投入教育經費． 【解答】 解：（ 1）設增長率為 x，根據(jù)題意 2022 年為 2900（ 1+x）萬元， 2022年為 2900（ 1+x） 2 萬元． 則 2900（ 1+x） 2=3509， 解得 x==10%，或 x=﹣ （不合題意舍去）． 答：這兩年投入教育經費的平均增長率為 10%． （ 2） 2022 年該地區(qū)投入的教育經費是 3509 （ 1+10%） 2=（萬元）． ＜ 4250， 答：按（ 1）中教育經費投入的增長率，到 2022 年該地區(qū)投入的教育經費不能達到 4250 萬元． 【點評】 本題考查了一元二次方程中增長率的知識．增長前的量 （ 1+年平均增長率） 年數(shù) =增長后的量． 27．如圖， ⊙ O 的直徑為 AB，點 C 在圓周上（異于 A， B）， AD⊥ CD． （ 1）若 BC=3， AB=5，求 AC 的值； （ 2）若 AC 是 ∠ DAB 的平分線，求證：直線 CD 是 ⊙ O 的切線． 【考點】 切線的判定． 【分析】 （ 1）首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得 AC 的長即可； （ 2）連接 OC，證 OC⊥ CD 即 可；利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得 ∠OCA=∠ CAD，即可得到 OC∥ AD，由于 AD⊥ CD，那么 OC⊥ CD，由此得證． 【解答】 （ 1）解： ∵ AB 是 ⊙ O 直徑， C 在 ⊙ O 上， ∴∠ ACB=90176。， 又 ∵ BC=3， AB=5， ∴ 由勾股定理得 AC=4； （ 2）證明：連接 OC ∵ AC 是 ∠ DAB 的角平分線， ∴∠ DAC=∠ BAC， 又 ∵ AD⊥ DC， ∴∠ ADC=∠ ACB=90176。， ∴△ ADC∽△ ACB， ∴∠ DCA=∠ CBA， 又 ∵ OA=OC， ∴∠ OAC=∠ OCA， ∵∠ OAC+∠ OBC=90176。， ∴∠ OCA+∠ ACD=∠ OCD=90176。， ∴ DC 是 ⊙ O 的切線． 【點評】 此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 五、綜合題（本大題共 1 小題，共 10 分） 28．（ 10 分）（ 2022?福建）在正方形 ABCD 中，點 E， F 分別在邊 BC， CD 上，且 ∠ EAF=∠ CEF=45176。． （ 1）將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG（如圖 ① ），求證： △ AEG≌△ AEF； （ 2）若直線 EF與 AB， AD 的延長線分別交于點 M， N（如圖 ② ），求證： EF2=ME2+NF2； （ 3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖 ③ ），請你直接寫出線段 EF， BE， DF 之間的數(shù)量關系． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)旋轉的性質可知 AF=AG， ∠ EAF=∠ GAE=45176。，故可證 △ AEG≌△ AEF； （ 2）將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG，連結 GM．由（ 1）知 △AEG≌△ AEF，則 EG=EF．再由 △ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形，得出 CE=CF， BE=BM， NF= DF，然后證明 ∠ GME=90176。， MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明 EF2=ME2+NF2； （ 3）延長 EF 交 AB 延長線于 M 點，交 AD 延長線于 N 點，將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ AGH，連結 HM， HE．由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF，結合勾股定理以及相等線段可得（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2，所以 2（ DF2+BE2） =EF2． 【解答】 （ 1）證明： ∵△ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG， ∴ AF=AG， ∠ FAG=90176。， ∵∠ EAF=45176。， ∴∠ GAE=45176。， 在 △ AGE 與 △ AFE 中， ， ∴△ AGE≌△ AFE（ SAS）； （ 2）證明：設正方形 ABCD 的邊長為 a． 將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG，連結 GM． 則 △ ADF≌△ ABG， DF=BG． 由（ 1）知 △ AEG≌△ AEF， ∴ EG=EF． ∵∠ CEF=45176。， ∴△ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形， ∴ CE=CF， BE=BM， NF= DF， ∴ a﹣ BE=a﹣ DF， ∴ BE=DF， ∴ BE=BM=DF=BG， ∴∠ BMG=45176。， ∴∠ GME=45176。+45176。=90176。， ∴ EG2=ME2+MG2， ∵ EG=EF， MG= BM= DF=NF， ∴ EF2=ME2+NF2； （ 3）解： EF2=2BE2+2DF2． 如圖所示，延長 EF 交 AB 延長線于 M 點，交 AD 延長線于 N 點， 將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ AGH，連結 HM， HE． 由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF， 則由勾股定理有（ GH+BE） 2+BG2=EH2， 即（ GH+BE） 2+（ BM﹣ GM） 2=EH2 又 ∴ EF=HE， DF=GH=GM， BE=BM，所以有（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2， 即 2（ DF2+BE2） =EF2 【點評】 本題是四邊形綜合題，其中涉及到正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，矩形的性質，勾股定理．準確作出輔助線利用數(shù)形結合及類比思想是解題的關鍵．