【正文】 1000﹣ t）本，根據(jù)題目中所給的信息列出不等式組，求出 t 的取值范圍，然后根據(jù)總利潤 w=總售價﹣總成本，求出最佳的進貨方案． 【解答】解：（ 1）設 B 類圖書的標價為 x 元，則 A 類圖書的標價為 元， 根據(jù)題意可得 ﹣ 10= ， 化簡得： 540﹣ 10x=360， 解得： x=18， 經檢驗： x=18 是原分式方程的解，且符合題意， 則 A 類圖書的標價為： =18=27（元）， 答： A 類圖書的標價為 27 元， B 類圖書的標價為 18 元； （ 2）設購進 A 類圖書 t 本，總 利潤為 w 元， A 類圖書的標價為（ 27﹣ a）元（ 0＜ a＜ 5）， 由題意得， ， 解得： 600≤t≤800， 則總利潤 w=（ 27﹣ a﹣ 18） t+（ 18﹣ 12）（ 1000﹣ t） =（ 9﹣ a） t+6（ 1000﹣ t） =6000+（ 3﹣ a） t， 故當 0＜ a＜ 3 時， 3﹣ a＞ 0， t=800 時，總利潤最大； 當 3≤a＜ 5 時， 3﹣ a＜ 0， t=600 時，總利潤最大； 答：當 A 類圖書每本降價少于 3 元時， A 類圖書購進 800 本， B 類圖書購進 200 本時，利潤最大；當 A 類圖書每本降價大于等于 3 元，小于 5 元時， A 類圖書購進 600 本， B 類圖書 購進 400 本時，利潤最大． 第 22 頁（共 26 頁） 【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，涉及了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的最值問題，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出方程和不等式組求解． 24．如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。， D、 F 是 AB 邊上的兩點，以 DF 為直徑的 ⊙ O 與 BC 相交于點 E，連接 EF，過 F 作 FG⊥ BC 于點 G，其中 ∠ OFE= ∠ A． （ 1）求證： BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 sinB= ， ⊙ O 的半徑為 r，求 △ EHG 的面積（用含 r 的代數(shù)式表示）． 【考點】切線的判定． 【分析】（ 1）首先連接 OE，由在 △ ABC 中， ∠ C=90176。， FG⊥ BC，可得 FG∥ AC，又由∠ OFE= ∠ A，易得 EF 平分 ∠ BFG，繼而證得 OE∥ FG，證得 OE⊥ BC，則可得 BC 是 ⊙ O的切線； （ 2）由在 △ OBE 中， sinB= ， ⊙ O 的半徑為 r，可求得 OB， BE 的長，然后由在 △ BFG 中，求得 BG， FG 的長，則可求得 EG 的長，易證得 △ EGH∽△ FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案． 【解答】（ 1）證明：連接 OE， ∵ 在 △ ABC 中， ∠ C=90176。， FG⊥ BC， ∴∠ BGF=∠ C=90176。， ∴ FG∥ AC， ∴∠ OFG=∠ A， ∴∠ OFE= ∠ OFG， ∴∠ OFE=∠ EFG， ∵ OE=OF， 第 23 頁（共 26 頁） ∴∠ OFE=∠ OEF， ∴∠ OEF=∠ EFG， ∴ OE∥ FG， ∴ OE⊥ BC， ∴ BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解： ∵ 在 Rt△ OBE 中， sinB= ， ⊙ O 的半徑為 r， ∴ OB= r， BE= r， ∴ BF=OB+OF= r， ∴ FG=BF?sinB= r， ∴ BG= = r， ∴ EG=BG﹣ BE= r， ∴ S△ FGE= EG?FG= r2， EG： FG=1： 2， ∵ BC 是切線， ∴∠ GEH=∠ EFG， ∵∠ EGH=∠ FGE， ∴△ EGH∽△ FGE， ∴ =（ ） = ， ∴ S△ EHG= S△ FGE= r2． 【點評】此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵． 第 24 頁（共 26 頁） 25．如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經過 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）兩點，且與 y 軸交于點 C，點 D 是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE 交 x 軸于點 E，連接 BD． （ 1）求經過 A， B， C 三點的拋物線的函數(shù)表達式； （ 2）點 P 是線段 BD 上一點，當 PE=PC 時，求點 P 的坐標； （ 3）在（ 2）的條件下，過點 P 作 PF⊥ x 軸于點 F， G 為拋物線上一動點， M 為 x 軸上一動點， N 為直線 PF 上一動點，當以 F、 M、 G 為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M 的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）利用待定系數(shù)法求出過 A， B， C 三點的拋物線的函數(shù)表達式； （ 2）連接 PC、 PE，利用公式求出頂點 D 的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線 BD 的解析式，設出點 P 的坐標為（ x，﹣ 2x+6），利用勾股定理表示出 PC2和 PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出 x 的值，計算求出點 P 的坐標； （ 3）設點 M 的坐標為（ a， 0），表示出點 G 的坐標，根據(jù)正方形的性 質列出方程，解方程即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經過 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）兩點， ∴ ， 解得， ， ∴ 經過 A， B， C 三點的拋物線的函數(shù)表達式為 y=﹣ x2+2x+3； （ 2）如圖 1，連接 PC、 PE， 第 25 頁（共 26 頁） x=﹣ =﹣ =1， 當 x=1 時， y=4， ∴ 點 D 的坐標為（ 1， 4）， 設直線 BD 的解析式為： y=mx+n， 則 ， 解得， ， ∴ 直線 BD 的解析式為 y=﹣ 2x+6， 設點 P 的坐標為（ x，﹣ 2x+6）， 則 PC2=x2+（ 3+2x﹣ 6） 2， PE2=（ x﹣ 1） 2+（﹣ 2x+6） 2， ∵ PC=PE， ∴ x2+（ 3+2x﹣ 6） 2=（ x﹣ 1） 2+（﹣ 2x+6） 2， 解得， x=2， 則 y=﹣ 22+6=2， ∴ 點 P 的坐標為（ 2， 2）； （ 3）設點 M 的坐標為（ a， 0），則點 G 的坐標為（ a，﹣ a2+2a+3）， ∵ 以 F、 M、 G 為頂點的四邊形是正方形， ∴ FM=MG，即 |2﹣ a|=|﹣ a2+2a+3|， 當 2﹣ a=﹣ a2+2a+3 時， 整理得， a2﹣ 3a﹣ 1=0， 解得， a= ， 當 2﹣ a=﹣（﹣ a2+2a+3）時， 整理得， a2﹣ a﹣ 5=0， 解得， a= ， ∴ 當以 F、 M、 G 為頂點的四邊形是正方形 時，點 M 的坐標為（ ， 0），（ ，0），（ ， 0），（ ， 0）． 第 26 頁（共 26 頁） 【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質，掌握二次函數(shù)的圖象和性質、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關鍵．