【正文】 小明遇到這樣一個問題：如圖 1， △ ABC 中， AB=AC，點 D 在 BC 邊上， ∠ DAB=∠ ABD， BE⊥ AD，垂足為 E，求證： BC=2AE． 小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點 A 作 AF⊥ BC，垂足為 F，得到 ∠ AFB=∠ BEA，從而可證 △ ABF≌△ BAE（如圖 2），使問題得到解決． （ 1）根據(jù)閱讀材料回答： △ ABF 與 △ BAE 全等的條件是 AAS（填 “SSS”、 “SAS”、 “ASA”、 “AAS”或 “HL”中的一個） 參考小明思考問題的方法，解答下列問題： 第 24 頁（共 29 頁） （ 2）如圖 3， △ ABC 中， AB=AC， ∠ BAC=90176。， D 為 BC 的中點， E 為 DC 的中點，點 F 在 AC 的延長線上，且 ∠ CDF=∠ EAC，若 CF=2，求 AB 的長； （ 3）如圖 4， △ ABC 中， AB=AC， ∠ BAC=120176。，點 D、 E 分別在 AB、 AC 邊上，且 AD=kDB（其中 0＜ k＜ ）， ∠ AED=∠ BCD，求 的值（用含 k 的式子表示）． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（ 1）作 AF⊥ BC，判斷出 △ ABF≌△ BAE（ AAS），得出 BF=AE，即可； （ 2）先求出 tan∠ DAE= ，再由 tan∠ F=tan∠ DAE，求出 CG，最后用 △ DCG∽△ ACE 求出 AC； （ 3）構(gòu)造含 30176。角的直角三角形，設(shè)出 DG，在 Rt△ ABH， Rt△ ADN， Rt△ ABH 中分別用 a， k 表示出AB=2a（ k+1）， BH= a（ k+1）， BC=2BH=2 a（ k+1）， CG= a（ 2k+1）， DN= ka，最后用 △ NDE∽△ GDC，求出 AE， EC 即可． 【解答】證明：（ 1）如圖 2， 作 AF⊥ BC， ∵ BE⊥ AD， ∴∠ AFB=∠ BEA， 在 △ ABF 和 △ BAE 中， ， ∴△ ABF≌△ BAE（ AAS）， ∴ BF=AE 第 25 頁（共 29 頁） ∵ AB=AC， AF⊥ BC， ∴ BF= BC， ∴ BC=2AE， 故答案為 AAS （ 2）如圖 3， 連接 AD，作 CG⊥ AF， 在 Rt△ ABC 中， AB=AC，點 D 是 BC 中點， ∴ AD=CD， ∵ 點 E 是 DC 中點， ∴ DE= CD= AD， ∴ tan∠ DAE= = = ， ∵ AB=AC， ∠ BAC=90176。，點 D 為 BC 中點， ∴∠ ADC=90176。， ∠ ACB=∠ DAC=45176。， ∴∠ F+∠ CDF=∠ ACB=45176。， ∵∠ CDF=∠ EAC， ∴∠ F+∠ EAC=45176。， ∵∠ DAE+∠ EAC=45176。， ∴∠ F=∠ DAE， ∴ tan∠ F=tan∠ DAE= ， ∴ ， ∴ CG= 2=1， ∵∠ ACG=90176。， ∠ ACB=45176。， ∴∠ DCG=45176。， ∵∠ CDF=∠ EAC， 第 26 頁（共 29 頁） ∴△ DCG∽△ ACE， ∴ ， ∵ CD= AC， CE= CD= AC， ∴ ， ∴ AC=4； ∴ AB=4； （ 3）如圖 4， 過點 D 作 DG⊥ BC，設(shè) DG=a， 在 Rt△ BGD 中， ∠ B=30176。， ∴ BD=2a， BG= a， ∵ AD=kDB， ∴ AD=2ka， AB=BD+AD=2a+2ka=2a（ k+1）， 過點 A 作 AH⊥ BC， 在 Rt△ ABH 中， ∠ B=30176。． ∴ BH= a（ k+1）， ∵ AB=AC， AH⊥ BC， ∴ BC=2BH=2 a（ k+1）， ∴ CG=BC﹣ BG= a（ 2k+1）， 過 D 作 DN⊥ AC 交 CA 延長線與 N， ∵∠ BAC=120176。， ∴∠ DAN=60176。， 第 27 頁（共 29 頁） ∴∠ ADN=30176。， ∴ AN=ka， DN= ka， ∵∠ DGC=∠ AND=90176。， ∠ AED=∠ BCD， ∴△ NDE∽△ GDC． ∴ ， ∴ ， ∴ NE=3ak（ 2k+1）， ∴ EC=AC﹣ AE=AB﹣ AE=2a（ k+1）﹣ 2ak（ 3k+1） =2a（ 1﹣ 3k2）， ∴ = ． 【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中點的定義，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點． 26．如圖，在平面直 角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=x2+ 與 y 軸相交于點 A，點 B 與點 O 關(guān)于點 A 對稱 （ 1）填空：點 B 的坐標(biāo)是 （ 0， ） ； （ 2）過點 B 的直線 y=kx+b（其中 k＜ 0）與 x 軸相交于點 C，過點 C 作直線 l 平行于 y 軸， P 是直線 l 上一點，且 PB=PC，求線段 PB 的長（用含 k 的式子表示），并判斷點 P 是否在拋物線上，說明理由； （ 3）在（ 2）的條件下，若點 C 關(guān)于直線 BP 的對稱點 C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點 P 的坐標(biāo)． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）由拋物線解析式可求得 A 點坐標(biāo)，再利用對稱可求得 B 點坐 標(biāo)； 第 28 頁（共 29 頁） （ 2）可先用 k 表示出 C 點坐標(biāo)，過 B 作 BD⊥ l 于點 D，條件可知 P 點在 x 軸上方，設(shè) P 點縱坐標(biāo)為 y，可表示出 PD、 PB 的長，在 Rt△ PBD 中，利用勾股定理可求得 y，則可求出 PB 的長，此時可得出 P 點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷 P 點在拋物線上； （ 3）利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到 ∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。，則可求得 OC 的長，代入拋物線解析式可求得 P 點坐標(biāo)． 【解答】解： （ 1） ∵ 拋物線 y=x2+ 與 y 軸相交于點 A， ∴ A（ 0， ）， ∵ 點 B 與點 O 關(guān)于點 A 對稱， ∴ BA=OA= ， ∴ OB= ，即 B 點坐標(biāo)為（ 0， ）， 故答案為：（ 0， ）； （ 2） ∵ B 點坐標(biāo)為（ 0， ）， ∴ 直線解析式為 y=kx+ ，令 y=0 可得 kx+ =0，解得 x=﹣ ， ∴ OC=﹣ ， ∵ PB=PC， ∴ 點 P 只能在 x 軸上方， 如圖 1，過 B 作 BD⊥ l 于點 D，設(shè) PB=PC=m， 則 BD=OC=﹣ ， CD=OB= ， ∴ PD=PC﹣ CD=m﹣ ， 在 Rt△ PBD 中，由勾股定理可得 PB2=PD2+BD2， 第 29 頁（共 29 頁） 即 m2=（ m﹣ ） 2+（﹣ ） 2，解得 m= + ， ∴ PB + ， ∴ P 點坐標(biāo)為（﹣ ， + ）， 當(dāng) x=﹣ 時，代入拋物線解 析式可得 y= + ， ∴ 點 P 在拋物線上； （ 3）如圖 2，連接 CC′， ∵ l∥ y 軸， ∴∠ OBC=∠ PCB， 又 PB=PC， ∴∠ PCB=∠ PBC， ∴∠ PBC=∠ OBC， 又 C、 C′關(guān)于 BP 對稱，且 C′在拋物線的對稱軸上，即在 y 軸上， ∴∠ PBC=∠ PBC′， ∴∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。， 在 Rt△ OBC 中， OB= ，則 BC=1 ∴ OC= ，即 P 點的橫坐標(biāo)為 ，代入拋物線解析式可得 y=（ ） 2+ =1， ∴ P 點坐標(biāo)為（ ， 1）． 【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有軸對稱的性質(zhì)、 平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（ 2）中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到關(guān)于 PC 的長的方程是解題的關(guān)鍵，在（ 3）中求得 ∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．