【正文】 （ 2）若 AB=3， BC=9，求線段 CE 的取值范圍． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】（ 1）由四邊形 ABCD 是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得 △ EFG 是等腰三角形，即可得 GF=EC，又由 GF∥ EC，即可得四邊形 CEGF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形 BGEF為菱形； （ 2）如圖 1，當(dāng) G 與 A 重合時， CE 取最大值，由折疊的性質(zhì)得 CD=DG， ∠ CDE=∠ GDE=45176。，推出四邊形 CEGD 是矩形，根據(jù)矩形的 性質(zhì)即可得到 CE=CD=AB=3；如圖 2，當(dāng) F 與 D 重合時， CE 取最小值，由折疊的性質(zhì)得 AE=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ GFE=∠ FEC， ∵ 圖形翻折后點 G 與點 C 重合， EF 為折線， ∴∠ GEF=∠ FEC， ∴∠ GFE=∠ FEG， ∴ GF=GE， ∵ 圖形翻折后 BC 與 GE 完全重合， ∴ BE=EC， 第 21 頁（共 26 頁） ∴ GF=EC， ∴ 四邊形 CEGF 為平行四邊形， ∴ 四邊形 CEGF 為菱形； （ 2）解：如圖 1，當(dāng) F 與 D 重合時， CE 取最小值， 由折疊的性質(zhì)得 CD=DG， ∠ CDE=∠ GDE=45176。， ∵∠ ECD=90176。， ∴∠ DEC=45176。=∠ CDE， ∴ CE=CD=DG， ∵ DG∥ CE， ∴ 四邊形 CEGD 是矩形， ∴ CE=CD=AB=3； 如圖 2，當(dāng) G 與 A 重合時， CE 取最大值， 由折疊的性質(zhì)得 AE=CE， ∵∠ B=90176。， ∴ AE2=AB2+BE2，即 CE2=32+（ 9﹣ CE） 2， ∴ CE=5， ∴ 線段 CE 的取值范圍 3≤CE≤5． 【點評】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，菱形的判定，線段的最值問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵． 24．如圖 1， AB 為半圓 O 的直徑， D 為 BA 的延長線上一點， DC 為半圓 O 的切線，切點為 C． 第 22 頁（共 26 頁） （ 1）求證： ∠ ACD=∠ B； （ 2）如圖 2， ∠ BDC 的平分線分別交 AC， BC 于點 E， F； ①求 tan∠ CFE 的值； ②若 AC=3， BC=4，求 CE 的長． 【考點】切線的性質(zhì)． 【分析】（ 1）利用等角的余角相等即可證明． （ 2） ①只要證明 ∠ CEF=∠ CFE 即可． ②由 △ DCA∽△ DBC，得 = = = ，設(shè) DC=3k， DB=4k，由 CD2=DA?DB，得 9k2=（ 4k﹣ 5） ?4k，由此求出 DC， DB，再由 △ DCE∽△ DBF，得 = ，設(shè) EC=CF=x，列出方程即可解決問題． 【解答】（ 1）證明：如圖 1 中，連接 OC． ∵ OA=OC， ∴∠ 1=∠ 2， ∵ CD 是 ⊙ O 切線， ∴ OC⊥ CD， ∴∠ DCO=90176。， ∴∠ 3+∠ 2=90176。， ∵ AB 是直徑， ∴∠ 1+∠ B=90176。， ∴∠ 3=∠ B． （ 2）解： ①∵∠ CEF=∠ ECD+∠ CDE， ∠ CFE=∠ B+∠ FDB， ∵∠ CDE=∠ FDB， ∠ ECD=∠ B， ∴∠ CEF=∠ CFE， ∵∠ ECF=90176。， ∴∠ CEF=∠ CFE=45176。， ∴ tan∠ CFE=tan45176。=1． ②在 RT△ ABC 中 ， ∵ AC=3， BC=4， ∴ AB= =5， 第 23 頁（共 26 頁） ∵∠ CDA=∠ BDC， ∠ DCA=∠ B， ∴△ DCA∽△ DBC， ∴ = = = ，設(shè) DC=3k， DB=4k， ∵ CD2=DA?DB， ∴ 9k2=（ 4k﹣ 5） ?4k， ∴ k= ， ∴ CD= ， DB= ， ∵∠ CDE=∠ BDF， ∠ DCE=∠ B， ∴△ DCE∽△ DBF， ∴ = ，設(shè) EC=CF=x， ∴ = ， ∴ x= ． ∴ CE= ． 【點評】本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問 題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型． 25．如圖 1，在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y=ax2+1 經(jīng)過點 A（ 4，﹣ 3），頂點為點 B，點 P 為拋物線上的一個動點， l 是過點（ 0， 2）且垂直于 y 軸的直線，過 P 作 PH⊥ l，垂足為 H，連接 PO． （ 1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點 B 的坐標； 第 24 頁（共 26 頁） （ 2） ①當(dāng) P 點運動到 A 點處時，計算： PO= 5 ， PH= 5 ，由此發(fā)現(xiàn)， PO = PH（填 “＞ ”、 “＜ ”或 “=”）； ②當(dāng) P 點在拋物線上運動時，猜想 PO 與 PH 有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （ 3）如圖 2，設(shè)點 C（ 1，﹣ 2），問是否存在點 P，使得以 P， O， H 為頂點的三角形與 △ ABC 相似？若存在，求出 P 點的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）利用待定系數(shù)法即可解決問題． （ 2） ①求出 PO、 PH 即可解決問題． ②結(jié)論： PO=PH．設(shè)點 P 坐標（ m，﹣ m2+1），利用兩點之間距離公式求出 PH、 PO 即可解決問題． （ 3）首先判斷 PH 與 BC， PO 與 AC 是對應(yīng)邊，設(shè)點 P（ m，﹣ m2+1），由 = 列出方程即可解決問題． 【解答】（ 1）解： ∵ 拋物線 y=ax2+1 經(jīng)過點 A（ 4，﹣ 3）， ∴ ﹣ 3=16a+1， ∴ a=﹣ ， ∴ 拋物線解析式為 y=﹣ x2+1，頂點 B（ 0， 1）． （ 2） ①當(dāng) P 點運動到 A 點處時， ∵ PO=5， PH=5， ∴ PO=PH， 故答案分別為 5， 5， =． ②結(jié)論： PO=PH． 理由：設(shè)點 P 坐標（ m，﹣ m2+1）， ∵ PH=2﹣（﹣ m2+1） = m2+1 PO= = m2+1， ∴ PO=PH． 第 25 頁（共 26 頁） （ 3） ∵ BC= = ， AC= = ， AB= =4 ∴ BC=AC， ∵ PO=PH， 又 ∵ 以 P， O， H 為頂點的三角形與 △ ABC 相似， ∴ PH 與 BC， PO 與 AC 是對應(yīng)邊， ∴ = ，設(shè) 點 P（ m，﹣ m2+1）， ∴ = ， 解得 m=177。1， ∴ 點 P 坐標（ 1， ）或（﹣ 1， ）． 【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是記住兩點之間的距離公式，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，用方程去解決問題，屬于中考壓軸題． 第 26 頁（共 26 頁）