【正文】 本題考查二次函數(shù)的應用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練 掌握待定系數(shù)法，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型． 24．在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ BAC=2∠ DAE=2α． （ 1）如圖 1，若點 D 關(guān)于直線 AE 的對稱點為 F，求證： △ ADF∽△ ABC； （ 2）如圖 2，在（ 1）的條件下，若 α=45176。，求證： DE2=BD2+CE2； （ 3）如圖 3，若 α=45176。，點 E 在 BC 的延長線上，則等式 DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 ∠ EAF=∠ DAE， AD=AF，再求出 ∠ BAC=∠ DAF，然后根據(jù)兩邊對應成比例，夾角相等 兩三角形相似證明； （ 2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 EF=DE， AF=AD，再求出 ∠ BAD=∠ CAF，然后利用 “邊角邊 ”證明 △ ABD和 △ ACF 全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得 CF=BD，全等三角形對應角相等可得 ∠ ACF=∠ B，然后求出 ∠ ECF=90176。，最后利用勾股定理證明即可； （ 3）作點 D 關(guān)于 AE 的對稱點 F，連接 EF、 CF，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 EF=DE， AF=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ BAD=∠ CAF，然后利用 “邊角邊 ”證明 △ ABD 和 △ ACF 全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得 CF=BD，全等三角形對應 角相等可得 ∠ ACF=∠ B，然后求出 ∠ ECF=90176。，最后利用勾股定理證明即可． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 點 D 關(guān)于直線 AE 的對稱點為 F， ∴∠ EAF=∠ DAE， AD=AF， 又 ∵∠ BAC=2∠ DAE， ∴∠ BAC=∠ DAF， ∵ AB=AC， ∴ = ， ∴△ ADF∽△ ABC； （ 2） ∵ 點 D 關(guān)于直線 AE 的對稱點為 F， ∴ EF=DE， AF=AD， ∵ α=45176。， ∴∠ BAD=90176。﹣ ∠ CAD， ∠ CAF=∠ DAE+∠ EAF﹣ ∠ CAD=45176。+45176。﹣ ∠ CAD=90176。﹣ ∠ CAD， ∴∠ BAD=∠ CAF， 在 △ ABD 和 △ ACF 中， ， ∴△ ABD≌△ ACF（ SAS）， ∴ CF=BD， ∠ ACF=∠ B， ∵ AB=AC， ∠ BAC=2α， α=45176。， ∴△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ B=∠ ACB=45176。， ∴∠ ECF=∠ ACB+∠ ACF=45176。+45176。=90176。， 在 Rt△ CEF 中，由勾股定理得， EF2=CF2+CE2， 所以， DE2=BD2+CE2； （ 3） DE2=BD2+CE2 還能成立． 理由如下：作點 D 關(guān)于 AE 的對稱點 F，連接 EF、 CF， 由軸對稱的性質(zhì)得， EF=DE， AF=AD， ∵ α=45176。， ∴∠ BAD=90176。﹣ ∠ CAD， ∠ CAF=∠ DAE+∠ EAF﹣ ∠ CAD=45176。+45176。﹣ ∠ CAD=90176。﹣ ∠ CAD， ∴∠ BAD=∠ CAF， 在 △ ABD 和 △ ACF 中， ， ∴△ ABD≌△ ACF（ SAS）， ∴ CF=BD， ∠ ACF=∠ B， ∵ AB=AC， ∠ BAC=2α， α=45176。， ∴△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ B=∠ ACB=45176。， ∴∠ ECF=∠ ACB+∠ ACF=45176。+45176。=90176。， 在 Rt△ CEF 中，由勾股定理得， EF2=CF2+CE2， 所以， DE2=BD2+CE2． 【點評】 本題是相似形綜合題，主要利用 了軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵． 25．如圖 1 所示，已知：點 A（﹣ 2，﹣ 1）在雙曲線 C： y= 上，直線 l1： y=﹣ x+2，直線 l2與 l1關(guān)于原點成中心對稱， F1（ 2， 2）， F2（﹣ 2，﹣ 2）兩點間的連線與曲線 C 在第一象限內(nèi)的交點為 B，P 是曲線 C 上第一象限內(nèi)異于 B 的一動點，過 P 作 x 軸平行線分別交 l1， l2于 M， N 兩點． （ 1）求雙曲線 C 及直線 l2 的解析式； （ 2）求證： PF2﹣ PF1=MN=4； （ 3）如圖 2 所示， △ PF1F2 的內(nèi)切圓與 F1F2， PF1， PF2 三邊分別相切于點 Q， R， S，求證：點 Q與點 B 重合．（參考公式：在平面坐標系中，若有點 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 A、 B 兩點間的距離公式為 AB= ．） 【分析】 （ 1）利用點 A 的坐標求出 a 的值，根據(jù)原點對稱的性質(zhì)找出直線 l2上兩點的坐標，求出解析式； （ 2）設 P（ x， ），利用兩點距離公式分別求出 PF PF PM、 PN 的長，相減得出結(jié)論； （ 3）利用切線長定理得出 ，并由（ 2）的結(jié)論 PF2﹣ PF1=4 得出 PF2﹣ PF1=QF2﹣ QF1=4，再 由兩點間距離公式求出 F1F2 的長，計算出 OQ 和 OB 的長，得出點 Q 與點 B 重合． 【解答】 解：（ 1）解：把 A（﹣ 2，﹣ 1）代入 y= 中得： a=（﹣ 2） （﹣ 1） =2， ∴ 雙曲線 C： y= ， ∵ 直線 l1與 x 軸、 y 軸的交點分別是（ 2， 0）、（ 0， 2），它們關(guān)于原點的對稱點分別是（﹣ 2， 0）、（ 0，﹣ 2）， ∴ l2： y=﹣ x﹣ 2 （ 2）設 P（ x， ）， 由 F1（ 2， 2）得： PF12=（ x﹣ 2） 2+（ ﹣ 2） 2=x2﹣ 4x+ ﹣ +8， ∴ PF12=（ x+ ﹣ 2） 2， ∵ x+ ﹣ 2= = ＞ 0， ∴ PF1=x+ ﹣ 2， ∵ PM∥ x 軸 ∴ PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣ 2， ∴ PM=PF1， 同理， PF22=（ x+2） 2+（ +2） 2=（ x+ +2） 2， ∴ PF2=x+ +2， PN=x+ +2 因此 PF2=PN， ∴ PF2﹣ PF1=PN﹣ PM=MN=4， （ 3） △ PF1F2 的內(nèi)切圓與 F1F2， PF1， PF2 三邊分別相切于點 Q， R， S， ∴ ?PF2﹣ PF1=QF2﹣ QF1=4 又 ∵ QF2+QF1=F1F2=4 ， QF1=2 ﹣ 2， ∴ QO=2， ∵ B（ ， ）， ∴ OB=2=OQ， 所以，點 Q 與點 B 重合． 【 點評】 此題主要考查了圓的綜合應用以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，將代數(shù)與幾何融合在一起，注意函數(shù)中線段的長可以利用本題給出的兩點距離公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．