【導(dǎo)讀】與金融市場相適應(yīng)的一些金融衍生品也孕育而出，而對于它們的分。析研究也就顯得尤為重要，其中期權(quán)更是在金融市場中占有一席之地的。知，期權(quán)又被稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性金融工具。本文針對基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)定價問題進(jìn)行研究，在研究上。第一章為緒論部分，重點(diǎn)闡述了文章的研究背景、研究意義以及國。第二章是預(yù)備知識，主要介紹了文章所用到的基礎(chǔ)理論知識，例。如蒙特卡洛算法、歐式期權(quán)、Black-Scholes模型的概念。第三章建立模型，利用。第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬。第五章為結(jié)論，是對本文的研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。

　　

【正文】 ).*rx(:,i))。 end plot(0:1/50:1,s) 使用蒙特卡洛算法模擬出來的路徑如下圖所示 ： 圖 31 A股蒙特卡洛算法路徑模擬圖 通過數(shù)學(xué)工具 Matlab，得到計算機(jī)計算出的歐式期權(quán)價格為 元。我們通過路 徑模擬次數(shù)的不斷增加，進(jìn)而來比較一下不同路徑次數(shù)模擬下的歐式期權(quán)價格，如下表 31 所示： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 表 31 蒙特卡洛算法路徑模擬次數(shù)與期權(quán)價值關(guān)系 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 1000 17000 2020 18000 3000 19000 4000 20200 5000 21000 6000 22020 7000 23000 8000 24000 9000 25000 10000 26000 11000 27000 12020 28000 13000 29000 14000 30000 15000 16000 通過上表，我們不難看出，運(yùn)用蒙特卡洛 算法，模擬的次數(shù)越多，得到的結(jié)果就會越精確，期權(quán)價格的波動性也就越小，尤其是在 20200 次的路徑模擬之后，期權(quán)價格的波動，基本上穩(wěn)定停留在 [,]這段區(qū)間上了，證明這個時候的期權(quán)價格已經(jīng)很接近期權(quán)本身的真實值了，所得結(jié)果也相對穩(wěn)定下來。我們?nèi)〉氖悄M后得到的期權(quán)平均價格為 ?？梢娒商乜逅惴ㄊ且环N用于計算期權(quán)很有效的方法。但是，大量次數(shù)的模擬仍然會給計算機(jī)帶來強(qiáng)大的負(fù)荷，這易使計算機(jī)發(fā)生死機(jī)狀態(tài)，那么，為了避免這種情況的發(fā)生又不影響期權(quán)價格的計算的精度，就引入了一個新的概念， 叫做邊際模擬價值，其計算方法如下式所示： 次模擬期權(quán)價值的波動率邊際模擬價值 10 00/?，當(dāng)邊際模擬價值取到很小可以忽略不計時，我們就可以認(rèn)為所求值與近似值幾乎一致。在本文第二章中，我們推導(dǎo)出了 BS 模型公式，用該公式我們得到的期權(quán)價格為： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 ? ? 2 221 ?????????????? ??? tTtTrKSd ?? 0 4 9 5 3 0 3 ????? tTdd ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 3 5 4 9 0 3 ,0m a x, 21?????????????NeN dNKedSNKSEetSVtTrTQtTr 通過計算可以看出，兩者之間只差了 ，可見蒙特卡洛算法模擬歐式期權(quán)定價問題還是很精確的，只要模擬次數(shù)不斷增加，結(jié)果就會不斷的精確。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 21 4 蒙特卡洛算法的改進(jìn) 縮減方差技術(shù) 我們已經(jīng)在 節(jié)中討論過蒙特卡洛算法的優(yōu)點(diǎn)了，雖然蒙特卡洛算法在計算期權(quán)價格時已經(jīng)很精確了，但是它依然有很多不足的地方，因為該算法對于相對較復(fù)雜的證券而言，只能通過大量的模擬，否則就會產(chǎn)生較大誤差，這樣在處理問題上會有很大的限制，而且在前幾節(jié)中，我們也說過蒙特卡洛算法的收斂速度是 ???????? 21nO ，速度相對較慢，所以為了提高精度，就得成倍加大試驗次數(shù)，這樣會顯得很繁瑣，正因如此，控制方差就成了蒙特卡洛算法中最為重要的步驟。那要如何減少方差呢，我們會介紹以下幾種方式。 控制變量法 我們現(xiàn)在假設(shè)一隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望 ??YE 的蒙特卡洛算法模擬出的估計量為 Y ，令 ? ?YE 的另一隨機(jī)變量的控制估計法變量為 CVY ，令 ? ?xCV XbYY ???? ，b 為任意一常數(shù)， X 為任一隨機(jī)變量，且 ? ?XEx ?? ， x? 為任意常數(shù)，同上， ? ?CVYE的蒙特卡洛算法估計量表示為 ? ?xCV XbYY ???? ，又 ? ? ? ?YEYE CV ? ，可知 ??YE 的無偏估計量為 CVY ，我們有 ? ? ? ?? ? 222 2 XYXXYYxCV bbXbYVa rYVa r ?????? ?????? （ ） 當(dāng) YXXYX bb ???? 222 ? 時，新產(chǎn)生的控制估計變量 CVY 的方差是小于原始隨機(jī)變量Y 的方差的，當(dāng) ? ?XYXYXV ar YXC ovb ? ???? )( ,* 時，產(chǎn)生的控制估計變量 CVY 的方差最小，最小方差為 ? ?? ?21 XYYVar ?? 。接下來我們比較下利用控制變量方法進(jìn)行方差縮減技術(shù)后的效果如下 ： ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?xXYx XbYV a rYV a rXbYV a r YV a r ??? ??????? *2* 1 1 （ ） 這表示，最優(yōu)系數(shù)為 *b 時，一般方法的模擬次數(shù)是 n ，但是使用改進(jìn)后的控制變量法縮減方差后的模擬次數(shù)僅需要 ? ?21 XYn ?? 次就可以了，又因為 ? ?YXCov , 和天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 22 ? ?XVar 在一般情況下都是未知數(shù)，所以需要估測隨機(jī)變量 YX, 的獨(dú)立樣本，即 ? ? ? ??? ??? niin XXXV a r121 （ ） ? ? ? ?? ??? ???? nii n YYXXYXC o v1 1, （ ） 值得說明的是，如果控制變量方差技術(shù)效果明顯的話，我們就需要在解決問題時，找出與所要研究的問題的關(guān)聯(lián)性最大的控制變量，映射到實際期權(quán)問題中，也就是讓我們使用標(biāo)的資產(chǎn)或者一些類似于歐式期權(quán)的那些有封閉解的簡單期權(quán)作為控制變量。 對偶變量法 提到縮減方差技術(shù)，對偶變量法也是其中之一，它利用的是變量間的負(fù)相關(guān)性，例如說對于積分 ? ?dyyfY ?? 10，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下關(guān)于 Y的兩個估計值： ? ? ???? ??Ni iNi ia YNufNY 1111 （ ） ? ? ???? ???Ni iNi ib YNufNY 139。1111 （ ） 其中 Niui ,2,1),1,0[ ????? ，且是在 ? ?10， 區(qū)間上均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，由于這兩個估計值本身是相關(guān)聯(lián)的，所以說得到的兩組觀測值理論上也應(yīng)該是相關(guān)聯(lián)的，且每組觀測值它們的均值相對獨(dú)立，也就是我們所說的平均值 iY 是一個對偶變量，它的估計值也已 給出為 AVY ，并且存在 ? ? ? ? ???????????? ????? niiiniiibaAV YYNufufNYYY11 212 112 （ ） 由 ? ? ? ? 22 AViiiAV YYV a rYV a rYV a r ?????????? ???且依據(jù)中心極限定理，我們有： ? ? ? ?1,0~/ NNYEY AVAV? ? （ ） 其中 ? ?211 ???? ni AViAVYYN? 。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 23 從中，我們可以看出，對偶變量縮減方差法的比例為： ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?????? 11121212/2121iiiiiiiYV a rYV a rYYV a rYV a rYV a rYV a r （ ） 對于使用對偶控制變量法而言，通過（ ）式我們很容易發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng) 0?? 時，估計到的方差值才能夠得到縮減，若所估計 的算術(shù)式為單調(diào)函數(shù)的時候，使用對偶控制變量法的方差的縮減效果會更加明顯，但是如果需求解得方程是線性方程的話，那么利用對偶變量法求得的估量值的誤差就為零，也就是可以直接求得真實值了。 下面我們來做關(guān)于期權(quán)的進(jìn)一步應(yīng)用分析，首先，對偶變量法要模擬出兩組衍生證券的價值和，其一當(dāng)然是用蒙特卡洛傳統(tǒng)方法得到，第二種就是改變了抽樣樣本的自身的符號從而得到的結(jié)果，最終模擬值就是取了兩種方式的平均值。 除了上述兩種縮減方差技術(shù)外，我們還有重要性抽樣技術(shù)以及條件蒙特卡洛路徑模擬兩種手段。前者采用了一種新的概率測度，用新的測出 的期望值取締了原本的概率測度下的原期望值。不難看出，前者本質(zhì)上就是增大了對估計值更有用的隨機(jī)抽樣出現(xiàn)的概率，這樣做的目的確保了估計值模擬效率的提高。而后者條件蒙特卡洛模擬方法就是用特殊條件下的隨機(jī)變量的期望值取締原一般條件下的隨機(jī)變量期望進(jìn)行的模擬計算，這樣更有利于增加估計值的精確程度。 擬蒙特卡洛算法 在本文第二章中就有介紹經(jīng)典的蒙特卡洛算法在取隨機(jī)數(shù)時，大多是采用Excel 軟件 rand 函數(shù)和數(shù)學(xué)工具 Matlab 中的 randn 函數(shù)實現(xiàn)的，這些函數(shù)里面給出的隨機(jī)數(shù)雖然滿足于大部分的隨機(jī)要求，但是這些 生成的隨機(jī)數(shù)字仍然會存在一些無法忽略的較大偏差，有可能隨機(jī)性較強(qiáng)，數(shù)字分布的并不均勻，因此為了避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，我們有必要對蒙特卡洛算法進(jìn)行改進(jìn)，我們引入一個新的概念叫做低偏差序列，該序列的作用主要就是可以使得生成的隨機(jī)數(shù)均勻化，隨機(jī)數(shù)的均勻的程度越高，產(chǎn)生的偏差也就會越小，對于經(jīng)典蒙特卡洛算法改進(jìn)的效果就越是明顯。簡單來就，擬蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法對衍生證券價格進(jìn)行模擬，從源頭上保障了誤差最小化。 為了看得更直觀些，我們嘗試用 Matlab 生成隨機(jī)點(diǎn)在平面上的分布情況，見下圖（利用數(shù)學(xué)軟件 Matlab 生成的 1000 個點(diǎn)的隨機(jī)分布圖）天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 24 圖 41 生成 1000個隨機(jī)數(shù)的分布圖 圖 41生成代碼如下： Number_Data=100。 X=randn(Number_Data,1)。 Y=randn(Number_Data,1)。 for i=1:Number_Data plot(X(i),Y(i),39。r.39。,39。MarkerSize39。,5),hold on end 從圖中可以看出，這樣生成的隨機(jī)數(shù)并不均勻，但是一旦結(jié)合了偏低差序列，那么生成的隨機(jī)數(shù)的分布就會變得非常均勻了，我們通常用的比較多 的偏低差序列有 Halton、 Sobol、 Faure、 Niederreiter 序列四種，在這四種序列中最根本也是運(yùn)用最多的就是 Halton序列，其基本原理就是 n 維的 Halton序列以 n 個數(shù)為基底，繼而將一系列的數(shù)字表示為某個數(shù)字的基的位數(shù)形式，再然后將這些數(shù)字組成的數(shù)位進(jìn)行反序排列，再在它們的前面加上小數(shù)點(diǎn)后得到的結(jié)果。例如，將 n 維的Halton 序列可以表示成 nhhh , 21 ??? ，不難看出，其中的每一個 隨機(jī)數(shù)都會是一個 n天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 25 維向量，即表示為 ? ?iniii hhhh , 21 ???? 。它的具體操作步驟如下： 首先選擇 m 個基 mbbb , 21 ??? ，一般的，都是選擇自然界前 m 個素數(shù)。 任取一個整數(shù) n ，使它成為基是 jb 的數(shù)位，表示為 ? ??? ??Iiiji bnan0， 這樣于隨機(jī)數(shù)序列中的某個元素的第 j 個向量就為 ? ? ? ?10??? ?? ?jjIi ijn bnax ，為了更直觀些，下面我們來舉個例子：我們?nèi)?3?m ，表示是 3 維的隨機(jī)數(shù)序列，取自然界的前三個素數(shù)為 5，取數(shù)字 17?n ，基于 5 為底，則可 以表示為 21000117? ，312217? ， 53217? ，將其反序分別為， 1000 22 23，再在數(shù)字前面加上小數(shù)點(diǎn)，便得到了 Halton 序列 ? ?532 2 0 0 0 ，? ，經(jīng)計算得 ? ?5 2 0 0 0 ,9 2 5 9 2 ,5 0 1 9 5 ?h ，再取數(shù)字 18?n ，仿照上述過程，依次循環(huán)就可得到整個序列了。 下面介紹一種名為 Moro 的算法。我們都知道累計標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密 度函數(shù)的積分。其分布函數(shù)可以表示為下式： ? ? dtexY x t?????? 2221? （ ） 由（ ）式可知，累積標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài) 分布的 Y 軸理論上是服從單位 1 上的均勻分布的，我們可以通過已知的 Y 軸上的得到的值直接從 X 軸上，找到與 Y 軸相對應(yīng)的X 值，假設(shè)現(xiàn)有一個服從正態(tài)分布的函數(shù) ??xg ，它的概率密度函數(shù)是 ??xf ，概率分布函數(shù)是 ??xF ，則可經(jīng)計算得