【文章內(nèi)容簡介】 ?1 所對應的漸進置信區(qū)間可以表示為nZ ?? ? ?? 2/n。實際上，由此不僅確定了置信區(qū)間，還可以確定蒙特卡洛算法上的概率化誤差邊界，其誤差為n?? ?2/Z，誤差收斂速度是 ? ?2/1?nO 。 由以上數(shù)據(jù)及公式，我們不難看出，蒙特卡洛算法的誤差是由 ? 和 n 同時決定的。在對同一個 ? 進行 抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定? ，將 n 增大 100 倍；要么固定 n 將 ? 減小 10 倍。若兩個隨機變量 1? ， 2? 的數(shù)學期望 ? ? ? ? ??? ?? 21 EE ， 21 ??? ，那么無論從 1? 或 2? 中抽樣均可得到 ? 的蒙特卡洛估計值。為比較其誤差，我們可以假設獲得 i? 的一個抽樣所需的機時為 1t ，那么在時間 T 內(nèi)生成的抽樣數(shù) ii tT/n ? ，若使2211n n?? ? ，則需使 2211 tt ?? ? 。因而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能單純的考慮增加模擬的次數(shù) n 或是減少方差 2? ，應當在減小方差的同時兼顧抽取一個樣本所耗費的機時，使方差 2? 與天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 機時 t 的乘積盡量的小。 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點 蒙特卡洛算法能夠逼真的描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點，并且受幾何條件的限制很小。除此之外，其收斂速度與待解決的問題的維數(shù)是不相關(guān)的。維數(shù)若要變化，只會引起抽樣所需的時間及計算估計量的時間的變化，并不會影響誤差，這個優(yōu)點決定了蒙特卡洛算法對多維問題的適應性。這是普通的數(shù)值方法幾乎都難以攻克的問題。另外，它還具有同一時間計算多個方案和多個未知變化量的能力， 且其誤差容易確定。利用高級計算機進行計算時，使用該方法的程序結(jié)構(gòu)較為簡單，分塊性強，更容易令其實現(xiàn)。 當然，無論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會存在例外。在維數(shù)相對較低的情況下，其相應收斂速度相對較慢，而且其誤差是在一定的置信水平下估計的，所以它的誤差是具有一定的概率性的，此外，它的計算結(jié)果事實上是依賴于系統(tǒng)的大小的，對于大系統(tǒng)大概率事件或者是小系統(tǒng)小概率事件的問題，經(jīng)計算研究發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果往往比真實值還要偏低。 關(guān)于期權(quán)的一些介紹 期權(quán)的概念 期權(quán)，也可以稱之為選擇權(quán)，它其實 是一種在期貨的基礎上產(chǎn)生的一款非常實用的衍生性金融工具。就期權(quán)的本質(zhì)而言，它其實指的是在未來的一定的時期內(nèi)可以隨意自由進行買賣 的權(quán)利，是買方向期權(quán)賣方支付一定數(shù)量的金額（權(quán)利金）后，擁有的 在未來的一段時間內(nèi)（特指美式期權(quán)）或未來的某一特定日期（特指歐式期權(quán)），以事先規(guī)定好的價格（履約價格）向期權(quán)賣方購買或出售一定數(shù)量的特定標的物的權(quán)利，但是并不負有期權(quán)必須買進或賣出的義務。期權(quán)在金融領域中，實質(zhì)上是將權(quán)力和義務分開進行定價的，從而使權(quán)利的受益人在規(guī)定時間內(nèi)決定是否進行交易，行使其本就有的權(quán)利，而義務方不 允許拒絕。在本文表21 中，詳細的闡述了在期權(quán)交易過程中，雙方權(quán)利與義務的關(guān)系。 表 21 期權(quán)交易中買賣雙方的權(quán)利與義務關(guān)系表 買方 賣方 權(quán)利與義務關(guān)系 有權(quán)利無義務 有義務無權(quán)利 期權(quán)費 支出 收入 履行合約 主動決定 被動接受 最大損失 期權(quán)費或期權(quán)金 無限 最大獲利 無限 期權(quán)費或期權(quán)金 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 期權(quán)的分類 期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標的物等方面的不同，導致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對它們進行合理的分類，我們才能對期權(quán)有更多更好的了解。本文重點介紹的是歐式期權(quán)，它是按 照交割時間來進行劃分的。目前市面上的期權(quán)種類主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類。 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使權(quán)利，而如果過了期限，合約則會自動作廢。歐式期權(quán)的結(jié)算日是履行合約后的一天到兩天。目前國內(nèi)的外匯期權(quán)交易幾乎都是采用的歐式期權(quán)合同方式。 美式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)，包括期權(quán)到期日在內(nèi)的任何時間，持有者都可以行使該項權(quán)利。美式期權(quán)的結(jié)算日是在履行合約后的一天到兩天。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持 有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時間履行合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時間履行合約，比如說“到期日前一周”。 亞式期權(quán)從本質(zhì)上看就是創(chuàng)新后的歐式期權(quán)，它不同于歐式期權(quán)，取合約履行日標的資產(chǎn)的價格，而是期權(quán)合約期內(nèi)某段時間標的資產(chǎn)的價格的平均值，同時這段時間被稱為平均期，在對期權(quán)標的資產(chǎn)進行平均時，采用的方法就是算術(shù)平均法或者幾何平均法。 由此可見，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費十分昂貴。因此，目前狀況是國際上大部分的期權(quán)交易都是歐式期權(quán)。 除了以上三種常見期權(quán)，期權(quán)經(jīng)常性的還會分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種。所謂看漲期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價格來購買標的資產(chǎn)。所謂看跌期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價格來出售標的資產(chǎn)。 期權(quán)價值 不管是哪類期權(quán)，都會有自身的內(nèi)在價值存在。所謂的內(nèi)在價值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時候所具有的價值間的極大值或者極小值，也就是 ? ?? ?0,max ??KS ，在這個式子中， S 代表的就是標的物的市場價格， K 代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價格。而在同時，期權(quán)根據(jù)其內(nèi)在價值的大小又分為了實值期權(quán)、虛值期權(quán)還有兩平期權(quán)三種。 實值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實價格的期權(quán)，也就是說期權(quán)的持有人對于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價值獲利大于零，故將其稱為實值期權(quán)。 兩平期權(quán)，也很好理解，與實值 期權(quán)概念相似，只不過就是期權(quán)的持有人在天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 對于期權(quán)立即執(zhí)行后，致使期權(quán)價值獲利為零，此時持有者處于一種不賠不賺的狀態(tài)，故將其稱為兩平期權(quán)。 虛值期權(quán)，與實值期權(quán)和兩平期權(quán)一樣，同樣是期權(quán)的持有者在立即執(zhí)行，其期權(quán)執(zhí)行結(jié)果是致使期權(quán)價值獲利小于零，此時持有者處于一種賠了的狀態(tài)，不存在期權(quán)價值了，故將其稱為虛值期權(quán)。 總結(jié)一下，本文以賣權(quán)舉例：首先，由于標的物的市場價格低于其執(zhí)行價格，賣方買進標的物時的價格就會偏低，因而再賣出時價格就是上升，從而獲利，正是這種原因?qū)е铝藢嵵蒂u權(quán)的出現(xiàn)。其次，由于買進標的物的市場價等 于賣出時的執(zhí)行價格，賣方從中未盈利，這便是兩平期權(quán)。最后，由于買進標的物時候的市場價格大于賣出時候的執(zhí)行價格，若賣方履約，則買方處于一種被動狀態(tài)，不得不履行約定，致使虧損，這種情況便是虛值期權(quán)。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買方多數(shù)會選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話損失的部分并不會很多，僅僅限制于期權(quán)費用而已。針對于這三種情況，我們都必須提高警惕，期權(quán)市場誰都說不好，也許今天還是實值期權(quán)，明天可能就變成了虛值期權(quán)了。 為了更方便于大家的參閱，本文將實值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)制成了表 格 22，其中 S 代表標的物的市場價， K 則代表期權(quán)最終執(zhí)行價格。 表 22 實值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)的關(guān)系 S 與 K 的關(guān)系 買權(quán) 賣權(quán) SK 實值 虛值 S=K 兩平 兩平 SK 虛值 實值 期權(quán)價值，實則還有一種時間價值，但鑒于本文研究的是歐式期權(quán)，時間價值則是與美式期權(quán)緊密相關(guān)的，故在此就不多做介紹了。 期權(quán)價格的影響因素 假設 S 是股票的初始價格， K 是履行合約的執(zhí)行價格， T 為期權(quán)合約到期的時間， t 表示目前的時間， TS 表示為在 T 時刻的時候，股票的市場價格， r 表示為從 T 時刻到期權(quán)到期執(zhí)行日的無風險利率，利息的話就按照連續(xù)的復利方式計算， C 表示購買的一種股票的歐式看漲期權(quán)價值， P 表示賣出的一種股票的歐式看跌期權(quán)價值， ? 表示股票價格產(chǎn)生變化的波動率。 標的資產(chǎn)價格 S 。對于歐式看漲期權(quán)而言，由于其到期執(zhí)行價格是固定的，所以說如果期權(quán)標的資產(chǎn)市場價格上升的話，那么歐式看漲期權(quán)的價格也會天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 11 跟隨著增加。 期權(quán)的執(zhí)行價格 K 。在到期行使期權(quán)的時侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標的資產(chǎn)的價格會很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價格。執(zhí)行價格在期權(quán)合約里往往都有相當明確的規(guī)定，是期權(quán)交易所依照特殊的標準以增減的形式給出，這就導致了同一個標的資產(chǎn)確有很多個不同的價格。一般的，在一種期權(quán)交易的開始，交易市場都會按照特定的價格間距，給出幾組不同的價格，根據(jù)標的資產(chǎn)價格的變動情況適時加價，至于對于每種期權(quán)到底有多少種價格，這就取決該項期標的資產(chǎn)交易中的波動情況了。不過，對于投資者而言，在選擇執(zhí)行價格時只要遵 循一個原則就好了，就是選擇最接近標的資產(chǎn)活躍區(qū)間價格的期權(quán)執(zhí)行價格。 標的資產(chǎn)價格的波動率 ? 。標的資產(chǎn)的波動率增加意味著期權(quán)的價格也會隨之增加，同時波動率的增加也意味著期權(quán)持有者也就是買方獲利會更多。 距期權(quán)執(zhí)行日的剩余時間。單就剩余時間這一條而言，剩余的時間越多，期權(quán)執(zhí)行時的價格就越高。原因就是時間越充裕，標的資產(chǎn)就越會有充裕的時間，有更多的機會向著對期權(quán)買家有利的方向變動，最后，隨著時間一點點減少，期權(quán)執(zhí)行價格發(fā)生變動的概 率也就相應減少了。相反的，剩余時間越少，離到期日越近，期權(quán)價格變動越快。 無風險利率。無風險利率指的就是投放資金于一項不含任何風險的活動，而取得的利息率。這是人人都想得到的一種最理想的投資理念。無風險利率是與期權(quán)時間價值成反比的。當其他期權(quán)影響因素固定不變時，若無風險利率增長，則標的資產(chǎn)價格的預期增長率有可能會上升，這就致使期權(quán)買方在未來的某一時刻收到的現(xiàn)金流現(xiàn)值很有可能會下降，這樣只會使得看跌期權(quán)價值相對下降，故而，我們得出結(jié)論，無風險利率與看跌期權(quán)價值成反比，然而，就看漲期權(quán)，我們認為無風險利率是與看漲 期權(quán)成正比的。為了便于讀者更好的理解，本文把上述幾種期權(quán)影響因素制作成表 23，如下： 表 23 各類因素對期權(quán)價格的影響 影響因素 看漲期權(quán) 看跌期權(quán) 標的資產(chǎn)的價格 上升 下降 標的資產(chǎn)的價格波動率 上升 下降 到期執(zhí)行價格 上升 下降 距到期日的剩余時間 上升 下降 無風險利率 上升 下降 從以上分析不難看出，期權(quán)最初的標的資產(chǎn)價格和期權(quán)到期的執(zhí)行價格這兩天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 個因素對于決定期權(quán)價格是尤為重要的，它們主要決定了某種期權(quán)究竟是何種類型的，實值、兩平或者是虛值。并且隨著到期時間的縮短，期權(quán)價值也 會跟隨降低。利率的變化對于期權(quán)價值相對復雜些，不過簡單來說就是利率上升，不但會使得期權(quán)持有者成本增加，同時也增長了市場方面對資產(chǎn)的價格上的預測，繼而直接導致看漲期權(quán)價格上調(diào)，看跌期權(quán)的價格跌落。 期權(quán)的交易原理 首先，買方看準市場，買入已事先約定好標的物價格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買入期貨的權(quán)利。享有該項權(quán)利后，一旦價格上調(diào)，就要履行上漲期權(quán)，購買時是低價購進，賣出時期權(quán)價格上漲，就以高價賣出，從中獲取差額利潤，這樣不僅彌補了期初支付的權(quán)利金，而且還有盈余。相對的，如果期權(quán) 價格沒有上漲而是下跌了，期權(quán)持有者就可以選擇放棄期權(quán)或者以低價轉(zhuǎn)讓看漲期權(quán)，這樣做的話最大不過是損失了權(quán)利金而已。買家之所以會買入看漲期權(quán)，主要是因為買家在購買前，分析了有關(guān)期貨市場上價格的變動，通過分析，買家會認為期貨市場上該股上漲空間更大一些，所以，買家選擇了持有看漲期權(quán)，之后買家支付了一定金額的權(quán)利金，一旦市場上的價格如意料中大幅上漲，持有者便低收高賣從中獲利。如果買方對市場價格分析不準確，有兩種可能，一種是價格也上漲了，不過 幅度很小，這樣也是可以取得一點利潤的，至少彌補了權(quán)利金的損失，另一種可能就是，市場上的價格下跌了，賣方選擇不履行約定，那么期權(quán)持有者的損失就是必然的了，不過持有者的最大損失也就是期初支付的權(quán)利金的金額。 期權(quán)的定價模型 歐式期權(quán)定價模型介紹 歐式期權(quán)在文章 節(jié)中已經(jīng)介紹過了， 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使該項權(quán)利，期權(quán)的價格是期權(quán)合約中唯一一個隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的 核心問題。所以，期權(quán)定價一直以來都是金融數(shù)學應用領域上最為復雜的問題之一。世界上第一個完整的、直至現(xiàn)在都在應用中的期權(quán)定價模型就是問世于 1973 年的，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 創(chuàng)立下的 BlackScholes 期權(quán)定價模型，以下簡稱 BS 模型。當然，隨著學術(shù)上的不斷推廣，接下來又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價方法，如最小二項式定價方法、風險中性定價方法以及鞅定價方法等等，但在這些方法中， BS 期權(quán)定價模型是期權(quán)定價問題的核心和基礎。 BS 期權(quán)定價模型的建立 BS 期權(quán)定價模 型是金融界期權(quán)定價的核心、基礎理論，現(xiàn)建立 BS 模型，需具備的假設條件如下： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 13 標的證券的價格需要遵循幾何布朗運動