【正文】 下面介紹一種名為 Moro 的算法。,5),hold on end 從圖中可以看出，這樣生成的隨機(jī)數(shù)并不均勻，但是一旦結(jié)合了偏低差序列，那么生成的隨機(jī)數(shù)的分布就會(huì)變得非常均勻了，我們通常用的比較多 的偏低差序列有 Halton、 Sobol、 Faure、 Niederreiter 序列四種，在這四種序列中最根本也是運(yùn)用最多的就是 Halton序列，其基本原理就是 n 維的 Halton序列以 n 個(gè)數(shù)為基底，繼而將一系列的數(shù)字表示為某個(gè)數(shù)字的基的位數(shù)形式，再然后將這些數(shù)字組成的數(shù)位進(jìn)行反序排列，再在它們的前面加上小數(shù)點(diǎn)后得到的結(jié)果。 for i=1:Number_Data plot(X(i),Y(i),39。簡單來就，擬蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法對(duì)衍生證券價(jià)格進(jìn)行模擬，從源頭上保障了誤差最小化。前者采用了一種新的概率測度，用新的測出 的期望值取締了原本的概率測度下的原期望值。1111 （ ） 其中 Niui ,2,1),1,0[ ????? ，且是在 ? ?10， 區(qū)間上均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，由于這兩個(gè)估計(jì)值本身是相關(guān)聯(lián)的，所以說得到的兩組觀測值理論上也應(yīng)該是相關(guān)聯(lián)的，且每組觀測值它們的均值相對(duì)獨(dú)立，也就是我們所說的平均值 iY 是一個(gè)對(duì)偶變量，它的估計(jì)值也已 給出為 AVY ，并且存在 ? ? ? ? ???????????? ????? niiiniiibaAV YYNufufNYYY11 212 112 （ ） 由 ? ? ? ? 22 AViiiAV YYV a rYV a rYV a r ?????????? ???且依據(jù)中心極限定理，我們有： ? ? ? ?1,0~/ NNYEY AVAV? ? （ ） 其中 ? ?211 ???? ni AViAVYYN? 。那要如何減少方差呢，我們會(huì)介紹以下幾種方式。可見蒙特卡洛算法是一種用于計(jì)算期權(quán)很有效的方法。 for i=1:50 s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^*(s(:,i).*rx(:,i))。 T=1。由于（ ）式， m 條路徑的收益均值為 ??? mi jmean CmC 11 ， m 條路徑的方差為 ? ??? ??? mi me a nj CCmC 1 2v a r 11 ，由此可得到 95%的置信區(qū)間為 ?????? ?? mCCmCCm e a nm e a n v a rv a r ,。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 3 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題實(shí)現(xiàn) 期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛算法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，期權(quán)價(jià)格能夠表示為其到期回報(bào)的貼現(xiàn)的期望值，即 ? ? ? ?? ?TQ SSSfrTEP ,e x p 21 ????? ，其中 QE 表示風(fēng)險(xiǎn)中性期望， r 為無風(fēng)險(xiǎn) 利率，T 為期權(quán)的到期執(zhí)行時(shí)刻， ? ?TSSSf , 21 ??? 是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的預(yù)期收益。 歐式看跌期權(quán)終、邊值條件為 ? ? ? ?TSKTSV ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SSKTSV 0 0, （ ） 風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型 如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) dWrdtSdS ??? （ ） 即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率 ? 取為無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 。 下面介紹一下為了得到期權(quán)微分形式，不可或缺 的且在隨機(jī)微分中最為重要的伊藤公式。 在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。 BS 期權(quán)定價(jià)模型的建立 BS 期權(quán)定價(jià)模 型是金融界期權(quán)定價(jià)的核心、基礎(chǔ)理論，現(xiàn)建立 BS 模型，需具備的假設(shè)條件如下： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 13 標(biāo)的證券的價(jià)格需要遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) dWdtSdS ?? ?? （ ） 其中， S 表示標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格， t 表 示時(shí)間， S 是 t 的函數(shù)， ? 表示的是標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率， ? 表示的是標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率， dW 則表示維納過程 。 期權(quán)的定價(jià)模型 歐式期權(quán)定價(jià)模型介紹 歐式期權(quán)在文章 節(jié)中已經(jīng)介紹過了， 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使該項(xiàng)權(quán)利，期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)合約中唯一一個(gè)隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的 核心問題。享有該項(xiàng)權(quán)利后，一旦價(jià)格上調(diào)，就要履行上漲期權(quán)，購買時(shí)是低價(jià)購進(jìn)，賣出時(shí)期權(quán)價(jià)格上漲，就以高價(jià)賣出，從中獲取差額利潤，這樣不僅彌補(bǔ)了期初支付的權(quán)利金，而且還有盈余。為了便于讀者更好的理解，本文把上述幾種期權(quán)影響因素制作成表 23，如下： 表 23 各類因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響 影響因素 看漲期權(quán) 看跌期權(quán) 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格 上升 下降 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率 上升 下降 到期執(zhí)行價(jià)格 上升 下降 距到期日的剩余時(shí)間 上升 下降 無風(fēng)險(xiǎn)利率 上升 下降 從以上分析不難看出，期權(quán)最初的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)到期的執(zhí)行價(jià)格這兩天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 個(gè)因素對(duì)于決定期權(quán)價(jià)格是尤為重要的，它們主要決定了某種期權(quán)究竟是何種類型的，實(shí)值、兩平或者是虛值。無風(fēng)險(xiǎn)利率指的就是投放資金于一項(xiàng)不含任何風(fēng)險(xiǎn)的活動(dòng)，而取得的利息率。單就剩余時(shí)間這一條而言，剩余的時(shí)間越多，期權(quán)執(zhí)行時(shí)的價(jià)格就越高。不過，對(duì)于投資者而言，在選擇執(zhí)行價(jià)格時(shí)只要遵 循一個(gè)原則就好了，就是選擇最接近標(biāo)的資產(chǎn)活躍區(qū)間價(jià)格的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 K 。 表 22 實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)的關(guān)系 S 與 K 的關(guān)系 買權(quán) 賣權(quán) SK 實(shí)值 虛值 S=K 兩平 兩平 SK 虛值 實(shí)值 期權(quán)價(jià)值，實(shí)則還有一種時(shí)間價(jià)值，但鑒于本文研究的是歐式期權(quán)，時(shí)間價(jià)值則是與美式期權(quán)緊密相關(guān)的，故在此就不多做介紹了。最后，由于買進(jìn)標(biāo)的物時(shí)候的市場價(jià)格大于賣出時(shí)候的執(zhí)行價(jià)格，若賣方履約，則買方處于一種被動(dòng)狀態(tài)，不得不履行約定，致使虧損，這種情況便是虛值期權(quán)。 兩平期權(quán)，也很好理解，與實(shí)值 期權(quán)概念相似，只不過就是期權(quán)的持有人在天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 對(duì)于期權(quán)立即執(zhí)行后，致使期權(quán)價(jià)值獲利為零，此時(shí)持有者處于一種不賠不賺的狀態(tài)，故將其稱為兩平期權(quán)。 期權(quán)價(jià)值 不管是哪類期權(quán)，都會(huì)有自身的內(nèi)在價(jià)值存在。因此，目前狀況是國際上大部分的期權(quán)交易都是歐式期權(quán)。美式期權(quán)的結(jié)算日是在履行合約后的一天到兩天。 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使權(quán)利，而如果過了期限，合約則會(huì)自動(dòng)作廢。在本文表21 中，詳細(xì)的闡述了在期權(quán)交易過程中，雙方權(quán)利與義務(wù)的關(guān)系。在維數(shù)相對(duì)較低的情況下，其相應(yīng)收斂速度相對(duì)較慢，而且其誤差是在一定的置信水平下估計(jì)的，所以它的誤差是具有一定的概率性的，此外，它的計(jì)算結(jié)果事實(shí)上是依賴于系統(tǒng)的大小的，對(duì)于大系統(tǒng)大概率事件或者是小系統(tǒng)小概率事件的問題，經(jīng)計(jì)算研究發(fā)現(xiàn)其計(jì)算結(jié)果往往比真實(shí)值還要偏低。這是普通的數(shù)值方法幾乎都難以攻克的問題。因而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能單純的考慮增加模擬的次數(shù) n 或是減少方差 2? ，應(yīng)當(dāng)在減小方差的同時(shí)兼顧抽取一個(gè)樣本所耗費(fèi)的機(jī)時(shí)，使方差 2? 與天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 機(jī)時(shí) t 的乘積盡量的小。 由以上數(shù)據(jù)及公式，我們不難看出，蒙特卡洛算法的誤差是由 ? 和 n 同時(shí)決定的。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 7 蒙特卡洛算法的效率 我們現(xiàn)在假設(shè)所求量 ? 是隨機(jī)變量 ? 的數(shù)學(xué)期望 ???E ，那么近似確定 ? 的蒙特卡洛算法是對(duì) ? 進(jìn)行 n 次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量序列 1? ， 2? ，?? ， n? ，并計(jì)算出樣本均值 ???n1K Kn n1 ?? （ ） 由（ ）式的結(jié)論根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理理論，我們可以得出 ? ? 1limpnn ???? ??，因此，當(dāng) n 大到無窮時(shí)，可用 n? 作為所需要求得的估算量 ? 的估計(jì)值。其他各類分布的隨機(jī)變量都是借助于隨機(jī)數(shù)來實(shí)現(xiàn)的，由此可見，隨機(jī)數(shù)是抽樣計(jì)算的基本工具。 為了更好的闡述蒙特卡洛算法，我們可以將上述問題表示為以下形式 ? ?? ?? ? ? ? ? ?xdFxfXfEA ??? （ ） 其中， A 是所要求的值， X 是一個(gè)隨機(jī)變量， ??xf 是一個(gè)依賴于隨機(jī)變量 X 的統(tǒng)計(jì)量， ??xF 是 X 的分布函數(shù)。因此，可以簡單地認(rèn)為，蒙特卡洛算法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分的，即為將所要計(jì)算的積分看作服從某種特殊分布密度函數(shù) ??XF 的隨機(jī)變量 ??xf 的數(shù)學(xué)期望。 for i=1:length(X) if(X(i))^2+(Y(i))^2 Num(i)=4。數(shù)學(xué)軟件 Matlab計(jì)算圓周率代碼如下： Number=9000000。舉個(gè)例子，如果考慮在一個(gè)平面上，有一個(gè)邊長為1 的正方形存在，并且在正方形內(nèi)部存在 一個(gè)不規(guī)則形狀的“圖形”，而如何精確地計(jì)算出這個(gè)不規(guī)則“圖形”的面積就是蒙特卡洛算法要解決的問題了。 大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 4 2 基礎(chǔ)知識(shí) 蒙特卡洛算法 蒙特卡洛算法簡介 蒙特卡洛算法是金融學(xué)中極為重要的一類數(shù)值方法。由此根據(jù)期權(quán)在資產(chǎn)不同價(jià)格下的價(jià)值得到期權(quán)在到期日的價(jià)值分布，再取期權(quán)在到期日價(jià)值的均值作為期權(quán)的價(jià)格。例如，蒙特卡洛算法、期權(quán)、歐式期權(quán)、 期權(quán)定價(jià) 的相關(guān)概念，同時(shí)，介紹了一系列的生成隨機(jī)數(shù)組的方法以及針對(duì)于歐式期權(quán)適用的 BlackScholes 模型，為后面的章節(jié)提供充分的理論基礎(chǔ)。 本文研究內(nèi)容及研究結(jié)構(gòu) 本文基于蒙特卡洛算法，將歐式期權(quán)定價(jià)隨機(jī)化，文章共分為五個(gè)章節(jié)。但是事實(shí)上，在美國，國家國防部早在 1949年之前就已經(jīng)在非常多的機(jī)密的工程中多次使用過這種 方法了。近 十幾年來隨著倒向隨機(jī)方程研究的快速發(fā)展，也使得倒向隨機(jī)微分方程在金融領(lǐng)域的應(yīng)用受到越來越廣泛的關(guān)注。程松林，劉三明 [1]專家結(jié)合 BlackScholes模型，用蒙特卡洛方法模擬了期權(quán) 定價(jià)的相關(guān)問題，進(jìn)而更加深入的討論了關(guān)于金融期權(quán)定價(jià)的理論研究模型。這樣就使得 BlackScholes模型能夠適用于更加廣泛的金融行業(yè)衍生產(chǎn)品，并且可以適用于更加寬松同時(shí)更加普遍的經(jīng)濟(jì)金融環(huán)境中。值得一提的是，相較于其他數(shù)值方法，蒙特卡洛方法的收斂速度與維度無關(guān)且計(jì)算速度快，同時(shí)又降低了成本。它在國際上的分類也是有很多種的，目前主要是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài) 、原生資產(chǎn)和交易方法分類的，本文主要研究的是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài)的分類，大致可分為遠(yuǎn)期、期貨、期權(quán)以及互換四類，而在這四類中，大多數(shù)人更關(guān)注期權(quán)。 關(guān)鍵詞： 蒙特卡洛算法； 歐式期權(quán)定價(jià)； 方差縮減技術(shù) ABSTRACT In recent years, with the rapid development of global economy, socioeconomic status of the financial market is constantly rising. Financial derivatives that are associated with the financial markets also bred out. So it is particularly important to analyze them especially for options. It is well known that the options are also known as choices, which are derivative financial instruments. It is very worthy of studying European option both in theoretical value and in an ec