【正文】 dWdtSdS ?? ?? （ ） 其中， S 表示標的資產(chǎn)市場價格， t 表 示時間， S 是 t 的函數(shù)， ? 表示的是標的資產(chǎn)的瞬時期望收益率， ? 表示的是標的資產(chǎn)的波動率， dW 則表示維納過程 。 證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。 不考慮交易費用或稅收等交易成本。 無風險利率 r 為一個固定常數(shù)且對所有期權(quán)到期日都一樣。 在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。 市場上不存在無風險的套利機會。 無風險利率 r 為一個固定常數(shù)且對所有期權(quán)到期日都一樣。 股票波動率相對穩(wěn)定。 下面介紹一下為了得到期權(quán)微分形式，不可或缺 的且在隨機微分中最為重要的伊藤公式。設(shè) ? ?tSVV ,? ， V 是二元可微函數(shù)，若在隨機過程中， S 滿足如下的隨機微分方程 ? ? ? ?dWtSdttSSdS , ?? ?? （ ） 則有 ? ? ? ? ? ? dWSVStSdtSVStSSVStStVdV ??????????? ????????? ,21, 2222 ??? （ ） 根據(jù)伊藤公式，當標的資產(chǎn)的運動服從假設(shè)條件中的幾何布朗運動時，期權(quán)價值? ?tSVV ,? 的微分形式為 dWSVSdtSVSSVStVdV ??????????? ????????? ??? 222221 （ ） 進而，我們可以構(gòu)造出無風險組合 SSVV ????? ，即有 dtrd ??? ，整理后得 0212222 ?????????? rVSVrSSVStV ? （ ） 表達式（ ）就是表示期權(quán)價格變化的 BS 模型。它的使用范圍偏廣泛，包括歐式看 漲期權(quán)、歐式看 跌期權(quán)、美式看 漲期權(quán)、美式看 跌期權(quán)，只不過，由于它們的終值條件以及邊界條件不盡相同，導(dǎo) 致它們的價值也各不相同。 歐式看漲、看跌期權(quán)的終邊值條件分別為： 歐式看漲期權(quán)終、邊值條件為 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 14 ? ? ? ?KSTSV T ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SS STSV 00, （ ） 通過求解得出歐式看漲期權(quán)的解析解為 ? ? ? ? ? ? ? ?21, dNKedSNtSV tTr ???? （ ） 其中 ? ? dxedN d x????? 2221? ， ? ? ? ?? ?tT tTrKSd ? ???? ? ? 2//ln 21， tTdd ??? ?12 ， T為期權(quán)的執(zhí)行 日期， K 為期權(quán)的執(zhí)行價格。 歐式看跌期權(quán)終、邊值條件為 ? ? ? ?TSKTSV ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SSKTSV 0 0, （ ） 風險中性期權(quán)定價模型 如果期權(quán)的標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動 dWrdtSdS ??? （ ） 即標的資產(chǎn)的瞬時期望收益率 ? 取為無風險利率 r 。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到 dWdtrSd ?? ????????? ?? 2ln2 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????????? ???????????? ??? tTtTrNWWtTrSS tTtr 222 ,2~2lnln ???? （ ） ? ? ? ????????? ??????????? ?? tTtT WWtTrSS ??2e x p 2 （ ） 對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，假設(shè) ? ?2,~ ??? N ， ?? e? ，則 ? 的密度函數(shù)為 ? ? ? ???????????????? ???0002lne x p2 1 22xxxxxp ? ???? （ ） 根據(jù)上述公式，得到標的資產(chǎn) TS 的密度函數(shù)如下 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 ? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????00022lne x p21222xxtTtTrSxxtTxPt???? （ ） 在風險中性概率測度下，歐式看漲期權(quán)定價為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?KSEtTrtSV TQ ???? ,0m a xe x p, （ ） ? ?? ?? ?? ?? ?? ?dxtTtTrSxtTxKdxtTtTrSxtTKSEKKTQ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22222222lne x p222lne x p21,0m a x???????? （ ） 接下來，求解以上風險中性期望，對（ ）式的右側(cè)第一個廣義積分做變量替換 ? ?tT tTrSxy ?????????? ??? ??2ln2和 tTyu ??? ? ，可以得到 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?12ln22ln22222222212122lne x p21dNSedueSedueSedxtTtTrSxtTtTrtTtTrKSutTrtTtTrSKutTrK??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 再對等式右側(cè)的第二個無窮積分，令 ? ?tT tTrSxu ? ????????? ???? ??2lnln2，可求得 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 ? ?? ?? ?? ?? ?22lnln22lnln22222222212122lne x p2dKNdueKdueKdxtTtTrSxtTxKtTtTrKSutTtTrSKuK?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 將以上求出的計算結(jié)果帶入期望等式中，最終得到歐 式看漲期權(quán)的價格公式為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21,0m a x, dNKedSNKSeEtSV tTrTtTrQ ???? ???? （ ） 其中 ? ?tTtTrKSd ?????????? ??? ??2ln21 ， tTdd ??? ?12 。 基于風險中性的期權(quán)定價原理，任何資產(chǎn)在風險中性概率測度下，對于持有者來說都是風險偏好中性的，可用風險中性概率求取期權(quán)的期望回報再將其進行無風險折現(xiàn)，這樣就得到了初始時刻的期權(quán)價值 。蒙特卡洛算法就是一種基于風險中性原理的期權(quán)數(shù)值定價方法。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 3 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價問題實現(xiàn) 期權(quán)定價的蒙特卡洛算法的理論依據(jù)是風險中性定價原理，在風險中性測度下，期權(quán)價格能夠表示為其到期回報的貼現(xiàn)的期望值，即 ? ? ? ?? ?TQ SSSfrTEP ,e x p 21 ????? ，其中 QE 表示風險中性期望， r 為無風險 利率，T 為期權(quán)的到期執(zhí)行時刻， ? ?TSSSf , 21 ??? 是關(guān)于標的資產(chǎn)價格路徑的預(yù)期收益。 由此可知，計算期權(quán)價格即就是計算一個期望值，蒙特卡洛算法便是用于估計期望值的，因此可以得到期權(quán)定價的蒙特卡洛算法。一般的，期權(quán)定價蒙特卡洛算法分為以下幾步： （ 1） 在風險中性的測度前提下，模擬期權(quán)標的資產(chǎn)價格的路徑，將時間區(qū)間? ?T,0 分成 n 個子區(qū)間 Ttttt n????????? 2100 ，標的資產(chǎn)價格過程的離散形式是 ? ? ? ? ? ? iiiii Zttttrijij etStS ????????? ?? ??? 112211 ??， ? ?1,0~ NZi （ ） （ 2） 嘗試計算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報率，并且 可以試圖根據(jù)無風險利率求得期權(quán)到期回報的貼現(xiàn) ? ? ? ?KSrTC jTj ??? ,0m a xe xp （ ） （ 3） 重復(fù)前面兩個步驟，可以得到大量的期權(quán)回報的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。 （ 4） 求得樣本平均值，進而得到期權(quán)價格的蒙特卡洛模擬值 ? ? ? ?m KSrTCmCmjjTmjjMC???????? 11,0m a xe x p1 （ ） 另外，我們還可以通過 以上公式得到蒙特卡洛模擬值與真實值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價的優(yōu)勢之一。由于（ ）式， m 條路徑的收益均值為 ??? mi jmean CmC 11 ， m 條路徑的方差為 ? ??? ??? mi me a nj CCmC 1 2v a r 11 ，由此可得到 95%的置信區(qū)間為 ?????? ?? mCCmCCm e a nm e a n v a rv a r ,。 為了使上面闡述的理論更清楚些，我們舉個簡單例子說明。假設(shè)現(xiàn)在有一種不含紅利的 A 股票，該股票的初始價格為 20 元，其定價過程符合我們所說的幾何布朗運動，且該支股票的年期預(yù)計收益率為 12%，其收益率的年波動率為 25%， 無風險利率 8%，該股執(zhí)行期權(quán)為 2 年，執(zhí)行價格為 20 元， 我們可將所給已知條天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 件數(shù)據(jù)化，即為 200?S ， ?? ， ?? ， 2?T ， 20?K ，數(shù)學(xué)工具 Matlab編寫代碼如下： rx=randn(100,50)。 r=。 T=1。 deltaT=1/50。 sigma=。 s=[100*ones(100,1) zeros(100,50)]。 for i=1:50 s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^*(s(:,i