【正文】 為 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 14 ? ? ? ?KSTSV T ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SS STSV 00, （ ） 通過求解得出歐式看漲期權(quán)的解析解為 ? ? ? ? ? ? ? ?21, dNKedSNtSV tTr ???? （ ） 其中 ? ? dxedN d x????? 2221? ， ? ? ? ?? ?tT tTrKSd ? ???? ? ? 2//ln 21， tTdd ??? ?12 ， T為期權(quán)的執(zhí)行 日期， K 為期權(quán)的執(zhí)行價格。設(shè) ? ?tSVV ,? ， V 是二元可微函數(shù)，若在隨機過程中， S 滿足如下的隨機微分方程 ? ? ? ?dWtSdttSSdS , ?? ?? （ ） 則有 ? ? ? ? ? ? dWSVStSdtSVStSSVStStVdV ??????????? ????????? ,21, 2222 ??? （ ） 根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運動服從假設(shè)條件中的幾何布朗運動時，期權(quán)價值? ?tSVV ,? 的微分形式為 dWSVSdtSVSSVStVdV ??????????? ????????? ??? 222221 （ ） 進而，我們可以構(gòu)造出無風(fēng)險組合 SSVV ????? ，即有 dtrd ??? ，整理后得 0212222 ?????????? rVSVrSSVStV ? （ ） 表達式（ ）就是表示期權(quán)價格變化的 BS 模型。 股票波動率相對穩(wěn)定。 市場上不存在無風(fēng)險的套利機會。 無風(fēng)險利率 r 為一個固定常數(shù)且對所有期權(quán)到期日都一樣。 證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。當(dāng)然，隨著學(xué)術(shù)上的不斷推廣，接下來又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價方法，如最小二項式定價方法、風(fēng)險中性定價方法以及鞅定價方法等等，但在這些方法中， BS 期權(quán)定價模型是期權(quán)定價問題的核心和基礎(chǔ)。所以，期權(quán)定價一直以來都是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域上最為復(fù)雜的問題之一。如果買方對市場價格分析不準(zhǔn)確，有兩種可能，一種是價格也上漲了，不過 幅度很小，這樣也是可以取得一點利潤的，至少彌補了權(quán)利金的損失，另一種可能就是，市場上的價格下跌了，賣方選擇不履行約定，那么期權(quán)持有者的損失就是必然的了，不過持有者的最大損失也就是期初支付的權(quán)利金的金額。相對的，如果期權(quán) 價格沒有上漲而是下跌了，期權(quán)持有者就可以選擇放棄期權(quán)或者以低價轉(zhuǎn)讓看漲期權(quán)，這樣做的話最大不過是損失了權(quán)利金而已。 期權(quán)的交易原理 首先，買方看準(zhǔn)市場，買入已事先約定好標(biāo)的物價格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買入期貨的權(quán)利。并且隨著到期時間的縮短，期權(quán)價值也 會跟隨降低。當(dāng)其他期權(quán)影響因素固定不變時，若無風(fēng)險利率增長，則標(biāo)的資產(chǎn)價格的預(yù)期增長率有可能會上升，這就致使期權(quán)買方在未來的某一時刻收到的現(xiàn)金流現(xiàn)值很有可能會下降，這樣只會使得看跌期權(quán)價值相對下降，故而，我們得出結(jié)論，無風(fēng)險利率與看跌期權(quán)價值成反比，然而，就看漲期權(quán)，我們認為無風(fēng)險利率是與看漲 期權(quán)成正比的。這是人人都想得到的一種最理想的投資理念。 無風(fēng)險利率。原因就是時間越充裕，標(biāo)的資產(chǎn)就越會有充裕的時間，有更多的機會向著對期權(quán)買家有利的方向變動，最后，隨著時間一點點減少，期權(quán)執(zhí)行價格發(fā)生變動的概 率也就相應(yīng)減少了。 距期權(quán)執(zhí)行日的剩余時間。 標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率 ? 。一般的，在一種期權(quán)交易的開始，交易市場都會按照特定的價格間距，給出幾組不同的價格，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價格的變動情況適時加價，至于對于每種期權(quán)到底有多少種價格，這就取決該項期標(biāo)的資產(chǎn)交易中的波動情況了。在到期行使期權(quán)的時侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標(biāo)的資產(chǎn)的價格會很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價格。對于歐式看漲期權(quán)而言，由于其到期執(zhí)行價格是固定的，所以說如果期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)市場價格上升的話，那么歐式看漲期權(quán)的價格也會天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 11 跟隨著增加。 期權(quán)價格的影響因素 假設(shè) S 是股票的初始價格， K 是履行合約的執(zhí)行價格， T 為期權(quán)合約到期的時間， t 表示目前的時間， TS 表示為在 T 時刻的時候，股票的市場價格， r 表示為從 T 時刻到期權(quán)到期執(zhí)行日的無風(fēng)險利率，利息的話就按照連續(xù)的復(fù)利方式計算， C 表示購買的一種股票的歐式看漲期權(quán)價值， P 表示賣出的一種股票的歐式看跌期權(quán)價值， ? 表示股票價格產(chǎn)生變化的波動率。 為了更方便于大家的參閱，本文將實值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)制成了表 格 22，其中 S 代表標(biāo)的物的市場價， K 則代表期權(quán)最終執(zhí)行價格。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買方多數(shù)會選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話損失的部分并不會很多，僅僅限制于期權(quán)費用而已。其次，由于買進標(biāo)的物的市場價等 于賣出時的執(zhí)行價格，賣方從中未盈利，這便是兩平期權(quán)。 虛值期權(quán)，與實值期權(quán)和兩平期權(quán)一樣，同樣是期權(quán)的持有者在立即執(zhí)行，其期權(quán)執(zhí)行結(jié)果是致使期權(quán)價值獲利小于零，此時持有者處于一種賠了的狀態(tài)，不存在期權(quán)價值了，故將其稱為虛值期權(quán)。 實值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實價格的期權(quán)，也就是說期權(quán)的持有人對于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價值獲利大于零，故將其稱為實值期權(quán)。所謂的內(nèi)在價值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時候所具有的價值間的極大值或者極小值，也就是 ? ?? ?0,max ??KS ，在這個式子中， S 代表的就是標(biāo)的物的市場價格， K 代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價格。所謂看跌期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價格來出售標(biāo)的資產(chǎn)。 除了以上三種常見期權(quán)，期權(quán)經(jīng)常性的還會分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種。 由此可見，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費十分昂貴。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持 有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時間履行合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時間履行合約，比如說“到期日前一周”。 美式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)，包括期權(quán)到期日在內(nèi)的任何時間，持有者都可以行使該項權(quán)利。歐式期權(quán)的結(jié)算日是履行合約后的一天到兩天。目前市面上的期權(quán)種類主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類。 表 21 期權(quán)交易中買賣雙方的權(quán)利與義務(wù)關(guān)系表 買方 賣方 權(quán)利與義務(wù)關(guān)系 有權(quán)利無義務(wù) 有義務(wù)無權(quán)利 期權(quán)費 支出 收入 履行合約 主動決定 被動接受 最大損失 期權(quán)費或期權(quán)金 無限 最大獲利 無限 期權(quán)費或期權(quán)金 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 期權(quán)的分類 期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標(biāo)的物等方面的不同，導(dǎo)致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對它們進行合理的分類，我們才能對期權(quán)有更多更好的了解。期權(quán)在金融領(lǐng)域中，實質(zhì)上是將權(quán)力和義務(wù)分開進行定價的，從而使權(quán)利的受益人在規(guī)定時間內(nèi)決定是否進行交易，行使其本就有的權(quán)利，而義務(wù)方不 允許拒絕。 關(guān)于期權(quán)的一些介紹 期權(quán)的概念 期權(quán)，也可以稱之為選擇權(quán)，它其實 是一種在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一款非常實用的衍生性金融工具。 當(dāng)然，無論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會存在例外。另外，它還具有同一時間計算多個方案和多個未知變化量的能力， 且其誤差容易確定。維數(shù)若要變化，只會引起抽樣所需的時間及計算估計量的時間的變化，并不會影響誤差，這個優(yōu)點決定了蒙特卡洛算法對多維問題的適應(yīng)性。 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點 蒙特卡洛算法能夠逼真的描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點，并且受幾何條件的限制很小。為比較其誤差，我們可以假設(shè)獲得 i? 的一個抽樣所需的機時為 1t ，那么在時間 T 內(nèi)生成的抽樣數(shù) ii tT/n ? ，若使2211n n?? ? ，則需使 2211 tt ?? ? 。在對同一個 ? 進行 抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定? ，將 n 增大 100 倍；要么固定 n 將 ? 減小 10 倍。實際上，由此不僅確定了置信區(qū)間，還可以確定蒙特卡洛算法上的概率化誤差邊界，其誤差為n?? ?2/Z，誤差收斂速度是 ? ?2/1?nO 。 得出估計值后，通過中心極限定理，我們就可以得到估計的誤差量了。從嚴(yán)格意義上來講，這種隨機數(shù)的產(chǎn)生并不是隨機的，而是根據(jù)確定的遞推公式獲得的，所以被稱之為偽隨機數(shù)，然而雖然它不是真正意義上的隨機數(shù)，但也并不會影響到估算結(jié)果。近年來，科技進步，隨著高速電子計算機的問世，使得運用蒙特卡洛算法模擬大量數(shù)據(jù)進行試驗成為可能。蒙特卡洛生成的隨機數(shù)簡而言之就是服從此種均勻分布的隨機變量。 得到的統(tǒng)計估計量 NA? 和所要求的 A 精確值的近似度與所選取的樣本點的個數(shù) N 有關(guān)，對于任意的 0?? ，滿足 ? ? 1?lim ????? ?AAP NN （ ） 可以看出，當(dāng) ???N 時， NA? 收斂于 A 。假設(shè) N 取到無限大，根據(jù)大數(shù)定律， NA? 將會幾乎取代 A 的值，最終作為 A 的近似值存在。 以下舉一個簡單的例子來講述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如： ??dxxfA ?? 10 （ ） 這個式子的含義為計算函數(shù) ??xf 在 [0， 1]區(qū)間上的積分值 A ，通過（ ）式，我們不難發(fā)現(xiàn)該算術(shù)式等價于計算數(shù)學(xué)期望 ? ?? ?? ?xfEA? （ ） 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 6 其中，變量 X 是服從 [0， 1]區(qū)間上的均勻分布，即為 ? ?1,0~UX 。（ 2）對該模型進行大量的抽樣數(shù)據(jù)模擬，用抽樣生成的隨機變量的算術(shù)平均值作為所求得的解的近似估計值。 else Num(i)=0。 Num=zeros(length(X),1)。 X=rand(Number,1)。 值得一提的是，蒙特卡洛算法生成的數(shù)據(jù)事實上是偽隨機數(shù)。蒙特卡洛算法就是一種所謂的“隨機化”的方法：向該正方形內(nèi)隨機投擲 N 個點，但必須保證投的點全部落在該“圖形”內(nèi)，則該圖形的面積近似于 NM 。 蒙特卡洛算法誕生于 17 世紀(jì)，當(dāng)時的人們很聰明的知道利用某種事件的發(fā)生頻率來決定事件發(fā)生概率。在蒙特卡洛算法中用到的是隨機變 量序列同分布的柯爾莫戈洛夫強大數(shù)定律。設(shè) 1? ， 2? ， ?? ， n? 為獨立分布的隨機變量序列，若 ? ? ?????KE ， ? ? ??? 2??KD ， nK ,2,1 ???? ，則有 ? ?1,01 Nnn dnK K ???? ??? ，其等價形式為 ??????? ???????? ???????????????? xnKKndttxnnP2e x p211l i m21????， ?????? x 。它又可以稱之為計算機模擬方法，它的誕生是基于概率數(shù)理統(tǒng)計理論的，以中心極限定理和大數(shù)定律為主要理論基礎(chǔ)，同時蒙特卡洛又是在歐洲摩納哥的一個世界級賭城，故因此而得名。主要是對本文的結(jié)論進行總結(jié)。 第四章為蒙特卡洛算法改進方法，主要是闡述了改進后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了 Halton 偏低差序列 后，使得期權(quán)價格更接近歐式看漲期權(quán)價格的真實值。 蒙特卡洛算法的基本思路是根據(jù)資產(chǎn)價格呈對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價格走勢，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價格分布。 第三章主要就是建立歐式期權(quán)定價模型。 第二章主要介紹與本文相關(guān)的理論知識基礎(chǔ)。 第一章引言?？偨Y(jié)一下也就是說國內(nèi)的研究方向主 要是集中在數(shù)值方法上，對近似解析方法的研究則是還比較少。同時，針對于解決歐式期權(quán)問題的數(shù)值方法，國內(nèi)的研究人員對于這類方法已經(jīng)提出了很多有效的改進意見，例如李東等人利用小波的方式來計算美式看跌期權(quán)的定價，張鐵等人使用了有限元方法計算得出了美式期權(quán)的定價。蒙特卡洛模擬算法在學(xué)術(shù)界上來說正式誕生是在 1949年，由 。中國山東大學(xué)的羅晨曦 [10]在彭實戈教授的指導(dǎo)下也為此領(lǐng)域做出了重要貢獻，彭實戈教授利用倒向隨機微分方程得到 FeynmanKac公式，該公式在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用。徐博馳和田波平副教授 [5]也研究了隨機沖擊環(huán)境對于金融市場上期權(quán)定價的影響，并指出了 BlackScholes模型是存在一定的局限性的。姜禮