【正文】 nomial Model BlackScholes Model Finite Difference Binary Tree附 錄:includeincludemain(){printf(\n本程序解決這樣一個(gè)問(wèn)題：\n)。 最后要感謝的就是我所有的家人，讓我有機(jī)會(huì)完成我的大學(xué)深造，更在我每次碰到困難的時(shí)候在背后默默的鼓勵(lì)我，激勵(lì)我，讓我不怕艱辛，在再次遇到困難時(shí)都能挺過(guò)去，而不是被打趴下。致 謝 首先我很感謝我的論文指導(dǎo)老師郭子君副教授，這篇論文是在他的悉心指導(dǎo)和督促中完成的，郭老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度、淵博的知識(shí)讓我感覺(jué)我很榮幸的稱(chēng)為他指導(dǎo)的學(xué)生，在論文創(chuàng)作過(guò)程中遇到了一些挫折，一度引起懶惰停滯不前，但是郭老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度讓我感到自己完全沒(méi)有盡到應(yīng)有的責(zé)任，于是我又重新拾起信心最終完成了這篇論文，在此我由衷的感謝郭老師對(duì)我的指導(dǎo)。 展望未來(lái) 本文開(kāi)始介紹的兩種模型都能求出歐式期權(quán)的精確解，但是卻不能求出其他期權(quán)的數(shù)值解，所以需要深入研究數(shù)值方法以便其他期權(quán)價(jià)格的求解，現(xiàn)在求期權(quán)價(jià)價(jià)格的數(shù)值方法有二叉樹(shù)圖法、三叉樹(shù)圖法、蒙特卡羅模擬法和有限差分法。 (4)內(nèi)含的有限差分法在于它很有效，相對(duì)外推有限差分方法不必為保證收斂性而進(jìn)行任何特定的事先假設(shè)，但是它比外推方法復(fù)雜，需要求大量的的聯(lián)立方程來(lái)求得最后的結(jié)果。同樣涉及的參數(shù)也較少，計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 有限差分法： (1)有限差分法將標(biāo)的變量的微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程來(lái)求解，運(yùn)用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言描述，結(jié)合了計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的運(yùn)用，為計(jì)算期權(quán)價(jià)格提供了更大的方便。 (3)根據(jù)二項(xiàng)式模型和BlackScholes模型的關(guān)系，知道股票回報(bào)率的波動(dòng)率，就可以計(jì)算出和相應(yīng)的概率，由于這三個(gè)參數(shù)的選取難度較大，而估算波動(dòng)率相對(duì)簡(jiǎn)單，所以在實(shí)際計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)已知波動(dòng)率會(huì)比較好求。 (2)但是，當(dāng)最終的盈虧狀態(tài)依賴(lài)于狀態(tài)變量的過(guò)去歷史以及它們的當(dāng)前值時(shí)，應(yīng)用此方法有很大的困難。的大小和相應(yīng)的概率經(jīng)過(guò)仔細(xì)的選擇后，可使股票價(jià)格的變化在風(fēng)險(xiǎn)中性的變化在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中具有正確的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。本文討論的兩種數(shù)值方法的優(yōu)缺點(diǎn)如下。 (2)二期二項(xiàng)式模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為： (3)期二項(xiàng)式模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為： BlackScholes模型 BlackScholes模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為：。6 總結(jié) 本文結(jié)論 本文探討了兩種期權(quán)定價(jià)模型，并得出了兩種模型下歐式期權(quán)的定價(jià)公式。表2 不同、和的值，期權(quán)的不同價(jià)格201052050540504010010050110010011002001 從上表中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一定時(shí)，越大得出的更接近于真實(shí)值，當(dāng)一定，越大，同樣的得出的更接近真實(shí)值，說(shuō)明當(dāng)期權(quán)的期數(shù)分的越多，股票價(jià)格上漲速度越慢，即步長(zhǎng)取的越小時(shí)，得到的結(jié)果就越接近真實(shí)值。解：令、和的值分別取20，10和5，根據(jù)已知的, . 根據(jù)以上數(shù)值編寫(xiě)出matlab程序語(yǔ)言(程序見(jiàn)附錄)[12][13]按要求輸入數(shù)值：圖11 輸入程序已知的值 圖12 得出的各個(gè)時(shí)刻期權(quán)價(jià)格的值 。CrankNicolson方法的優(yōu)點(diǎn)是它比內(nèi)含的和外推的有限差分方法收斂更快。而下文所提供的CrankNicolson差分格式則是求這兩種方法的平均值。外推方法計(jì)算比較直接方便，無(wú)需像內(nèi)含方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。 內(nèi)含和外推有限差分方法在期權(quán)定價(jià)中的優(yōu)勢(shì)主要在于：當(dāng)格點(diǎn)有規(guī)律很均勻時(shí)，把一個(gè)偏微分方程化成差分方程式相對(duì)比較簡(jiǎn)單的。利用()和邊界條件，可以寫(xiě)出時(shí)刻的個(gè)聯(lián)立方程： ()且 因此解出每個(gè)的值，依次類(lèi)推，最后可計(jì)算出，當(dāng)?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是所要求的期權(quán)價(jià)值。 步驟4：運(yùn)用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對(duì)上述偏微分方程進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于網(wǎng)格內(nèi)部的點(diǎn)，可被近似為 ()或 ()被稱(chēng)為向前差分近似(forward difference approximation)；或稱(chēng)為向后差分近似(backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個(gè)對(duì)稱(chēng)的差分方程 ()對(duì)于，采用向前差分近似使得時(shí)刻的價(jià)格與的價(jià)格發(fā)生關(guān)聯(lián) ()在點(diǎn)的向后差分近似 在點(diǎn)，對(duì)的有限差分近似為 () 步驟5：將上面多式結(jié)合，且，得 ()其中 ，經(jīng)過(guò)合并得： () ()時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值為，其中為時(shí)刻的股票價(jià)格，因此： ()當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值為，因此： ()當(dāng)股票價(jià)格趨于無(wú)窮大時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值是趨于零。網(wǎng)格上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)間為，股票價(jià)格為?？紤]個(gè)時(shí)間點(diǎn)步驟3：假定為股票的最高價(jià)格。為了說(shuō)明這種方法，我們考慮用它來(lái)估算一個(gè)不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。表1 取不同值時(shí)，期權(quán)的現(xiàn)值3510 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取得越大，離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價(jià)值越小。 ：考慮一個(gè)不付紅利股票的5個(gè)月期歐式看跌期權(quán)，股票價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動(dòng)率為每年40%，為構(gòu)造一個(gè)二叉樹(shù)，我們把期權(quán)的有效期分為十個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度為半個(gè)月，(=)，則，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計(jì)算會(huì)比較麻煩，編寫(xiě)C語(yǔ)言程序去實(shí)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果(程序見(jiàn)附錄)[9][10]： 運(yùn)行程序出現(xiàn)：圖8 C語(yǔ)言程序運(yùn)行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖10 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格由圖可讀出期權(quán)的價(jià)格為。 現(xiàn)在用C語(yǔ)言表示這個(gè)過(guò)程(程序見(jiàn)附錄) 運(yùn)行程序出現(xiàn)：圖5 C語(yǔ)言程序運(yùn)行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖7 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格 這個(gè)程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時(shí)間，股票零時(shí)刻價(jià)格，利率，股票價(jià)格上升比例，股票價(jià)格下降比例，最后期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，自己可以針對(duì)任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當(dāng)期的期權(quán)價(jià)格。 同理得 。圖4 三期的股票和三期的期權(quán)價(jià)格二叉樹(shù)圖解：由題意得 因?yàn)樵撈跈?quán)是看漲期權(quán)，所以當(dāng)T=3時(shí)期權(quán)價(jià)格， 由此可求得。而前面各個(gè)時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格均可以通過(guò)，和的值推導(dǎo)出來(lái)，這樣我們就能求出零時(shí)刻的期權(quán)值。 使用二叉樹(shù)圖模型時(shí)的股票價(jià)格完整數(shù)圖如圖3所示。這章介紹的的數(shù)值方法分別是二叉樹(shù)圖方法和有限差分法。由于處于風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，所以股票的期望收益是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 二項(xiàng)式模型和BlackScholes的模型的關(guān)系 介紹這兩個(gè)模型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。 證明：為了確定在合約有效期內(nèi)[0,T]內(nèi)期權(quán)的價(jià)值，就是要在區(qū)域上求解定解問(wèn)題： () ()作自變數(shù)代換 ()定解問(wèn)題()()轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程Cauchy問(wèn)題(初值問(wèn)題)： () () 求解：做函數(shù)變換： ()因?yàn)榇?).取，.則()變?yōu)? ()相應(yīng)的初始值為： ()令 其中為初值，為方程()的基本解。那么由于是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，因此在時(shí)刻，投資組合的回報(bào)是即 ()由于，其中是由隨機(jī)微分方程()確定的方程，因此有Ito公式.把它代入式()得. ()由于等式右端是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，由此等式左端隨機(jī)項(xiàng)的系數(shù)必為0，即選取 ()把它帶入式()，并消去得到這就是刻畫(huà)歐式看漲期權(quán)價(jià)格變化的偏微分方程——BlackScholes方程。 形成投資組合，(是原生資產(chǎn)的份額)，選取適當(dāng)?shù)氖沟迷跁r(shí)段內(nèi)，是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 證明：設(shè)是歐式看漲期權(quán)價(jià)格，它在期權(quán)的到期日時(shí)，這里是期權(quán)的敲定價(jià)，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時(shí)間內(nèi)的價(jià)值。 (8).在衍生證券的有效期內(nèi)沒(méi)有紅利支付。 (6).允許使用全部所得賣(mài)空衍生證券。 (4).不支付交易費(fèi)和稅收。 BlackScholes方程 基本假設(shè): (1).原生資產(chǎn)價(jià)格演化遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng) () (2).無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。這兩個(gè)量依賴(lài)于投資人的個(gè)人愛(ài)好，所以美足不足的是它在實(shí)際交易中不能運(yùn)用。若表示股票價(jià)格，那么表示股票的回報(bào)， ()這個(gè)模型克服了原先模型中可能使股票價(jià)格出現(xiàn)負(fù)值的不合理情況。1964年P(guān)aul 。： ()由于是維納過(guò)程，所以也遵循Ito過(guò)程。因此稱(chēng)為Ito定理。更一般地，我們可以說(shuō)任何一個(gè)衍生證券的價(jià)格都是這些標(biāo)的衍生債券的隨機(jī)變量和時(shí)間的函數(shù)。方程()給出的一般性Wiener過(guò)程其漂移率的期望值為，方差率的期望值為。 (2):對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。 ：設(shè)一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度為，定義為在時(shí)間內(nèi)的變化。 人們通常假設(shè)股票價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，所以股票價(jià)格行為模型通常采用馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程的一種特殊形式，即維納過(guò)程來(lái)表達(dá)，也稱(chēng)布朗運(yùn)動(dòng)。在本節(jié)，我們將提供一種循序漸進(jìn)的方法去了解股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程。4 BlackScholes模型 股票價(jià)格的行為模式 在第三章我們討論了期權(quán)的離散模型，它只是假設(shè)