【正文】 （）其中，為期權(quán)的執(zhí)行日期，為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。設(shè)，是二元可微函數(shù)，若在隨機(jī)過(guò)程中，滿足如下的隨機(jī)微分方程 （）則有 （） 根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)值的微分形式為 （） 進(jìn)而，我們可以構(gòu)造出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，即有，整理后得 （）表達(dá)式（）就是表示期權(quán)價(jià)格變化的BS模型。股票波動(dòng)率相對(duì)穩(wěn)定。市場(chǎng)上不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為一個(gè)固定常數(shù)且對(duì)所有期權(quán)到期日都一樣。證券允許賣(mài)空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。當(dāng)然，隨著學(xué)術(shù)上的不斷推廣，接下來(lái)又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價(jià)方法，如最小二項(xiàng)式定價(jià)方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法以及鞅定價(jià)方法等等，但在這些方法中，BS期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的核心和基礎(chǔ)。所以，期權(quán)定價(jià)一直以來(lái)都是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域上最為復(fù)雜的問(wèn)題之一。如果買(mǎi)方對(duì)市場(chǎng)價(jià)格分析不準(zhǔn)確，有兩種可能，一種是價(jià)格也上漲了，不過(guò)幅度很小，這樣也是可以取得一點(diǎn)利潤(rùn)的，至少?gòu)浹a(bǔ)了權(quán)利金的損失，另一種可能就是，市場(chǎng)上的價(jià)格下跌了，賣(mài)方選擇不履行約定，那么期權(quán)持有者的損失就是必然的了，不過(guò)持有者的最大損失也就是期初支付的權(quán)利金的金額。相對(duì)的，如果期權(quán)價(jià)格沒(méi)有上漲而是下跌了，期權(quán)持有者就可以選擇放棄期權(quán)或者以低價(jià)轉(zhuǎn)讓看漲期權(quán)，這樣做的話最大不過(guò)是損失了權(quán)利金而已。 期權(quán)的交易原理首先，買(mǎi)方看準(zhǔn)市場(chǎng)，買(mǎi)入已事先約定好標(biāo)的物價(jià)格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買(mǎi)入期貨的權(quán)利。并且隨著到期時(shí)間的縮短，期權(quán)價(jià)值也會(huì)跟隨降低。當(dāng)其他期權(quán)影響因素固定不變時(shí)，若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率有可能會(huì)上升，這就致使期權(quán)買(mǎi)方在未來(lái)的某一時(shí)刻收到的現(xiàn)金流現(xiàn)值很有可能會(huì)下降，這樣只會(huì)使得看跌期權(quán)價(jià)值相對(duì)下降，故而，我們得出結(jié)論，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與看跌期權(quán)價(jià)值成反比，然而，就看漲期權(quán)，我們認(rèn)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是與看漲期權(quán)成正比的。這是人人都想得到的一種最理想的投資理念。 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。原因就是時(shí)間越充裕，標(biāo)的資產(chǎn)就越會(huì)有充裕的時(shí)間，有更多的機(jī)會(huì)向著對(duì)期權(quán)買(mǎi)家有利的方向變動(dòng)，最后，隨著時(shí)間一點(diǎn)點(diǎn)減少，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的概率也就相應(yīng)減少了。 距期權(quán)執(zhí)行日的剩余時(shí)間。 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。一般的，在一種期權(quán)交易的開(kāi)始，交易市場(chǎng)都會(huì)按照特定的價(jià)格間距，給出幾組不同的價(jià)格，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)情況適時(shí)加價(jià)，至于對(duì)于每種期權(quán)到底有多少種價(jià)格，這就取決該項(xiàng)期標(biāo)的資產(chǎn)交易中的波動(dòng)情況了。在到期行使期權(quán)的時(shí)侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。對(duì)于歐式看漲期權(quán)而言，由于其到期執(zhí)行價(jià)格是固定的，所以說(shuō)如果期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格上升的話，那么歐式看漲期權(quán)的價(jià)格也會(huì)跟隨著增加。 期權(quán)價(jià)格的影響因素假設(shè)是股票的初始價(jià)格，是履行合約的執(zhí)行價(jià)格，為期權(quán)合約到期的時(shí)間，表示目前的時(shí)間，表示為在時(shí)刻的時(shí)候，股票的市場(chǎng)價(jià)格，表示為從時(shí)刻到期權(quán)到期執(zhí)行日的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，利息的話就按照連續(xù)的復(fù)利方式計(jì)算，表示購(gòu)買(mǎi)的一種股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)值，表示賣(mài)出的一種股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)值，表示股票價(jià)格產(chǎn)生變化的波動(dòng)率。為了更方便于大家的參閱，本文將實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買(mǎi)、賣(mài)權(quán)制成了表格22，其中代表標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)，則代表期權(quán)最終執(zhí)行價(jià)格。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買(mǎi)方多數(shù)會(huì)選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話損失的部分并不會(huì)很多，僅僅限制于期權(quán)費(fèi)用而已。其次，由于買(mǎi)進(jìn)標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)等于賣(mài)出時(shí)的執(zhí)行價(jià)格，賣(mài)方從中未盈利，這便是兩平期權(quán)。虛值期權(quán)，與實(shí)值期權(quán)和兩平期權(quán)一樣，同樣是期權(quán)的持有者在立即執(zhí)行，其期權(quán)執(zhí)行結(jié)果是致使期權(quán)價(jià)值獲利小于零，此時(shí)持有者處于一種賠了的狀態(tài)，不存在期權(quán)價(jià)值了，故將其稱(chēng)為虛值期權(quán)。實(shí)值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實(shí)價(jià)格的期權(quán)，也就是說(shuō)期權(quán)的持有人對(duì)于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價(jià)值獲利大于零，故將其稱(chēng)為實(shí)值期權(quán)。所謂的內(nèi)在價(jià)值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時(shí)候所具有的價(jià)值間的極大值或者極小值，也就是，在這個(gè)式子中，代表的就是標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格，代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價(jià)格。所謂看跌期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價(jià)格來(lái)出售標(biāo)的資產(chǎn)。除了以上三種常見(jiàn)期權(quán)，期權(quán)經(jīng)常性的還會(huì)分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種。由此可見(jiàn)，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時(shí)間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費(fèi)十分昂貴。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時(shí)間履行合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時(shí)間履行合約，比如說(shuō)“到期日前一周”。美式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)，包括期權(quán)到期日在內(nèi)的任何時(shí)間，持有者都可以行使該項(xiàng)權(quán)利。歐式期權(quán)的結(jié)算日是履行合約后的一天到兩天。目前市面上的期權(quán)種類(lèi)主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類(lèi)。 表21 期權(quán)交易中買(mǎi)賣(mài)雙方的權(quán)利與義務(wù)關(guān)系表買(mǎi)方賣(mài)方權(quán)利與義務(wù)關(guān)系有權(quán)利無(wú)義務(wù)有義務(wù)無(wú)權(quán)利期權(quán)費(fèi)支出收入履行合約主動(dòng)決定被動(dòng)接受最大損失期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金無(wú)限最大獲利無(wú)限期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金 期權(quán)的分類(lèi)期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標(biāo)的物等方面的不同，導(dǎo)致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對(duì)它們進(jìn)行合理的分類(lèi)，我們才能對(duì)期權(quán)有更多更好的了解。期權(quán)在金融領(lǐng)域中，實(shí)質(zhì)上是將權(quán)力和義務(wù)分開(kāi)進(jìn)行定價(jià)的，從而使權(quán)利的受益人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)決定是否進(jìn)行交易，行使其本就有的權(quán)利，而義務(wù)方不允許拒絕。 關(guān)于期權(quán)的一些介紹 期權(quán)的概念期權(quán)，也可以稱(chēng)之為選擇權(quán)，它其實(shí)是一種在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一款非常實(shí)用的衍生性金融工具。當(dāng)然，無(wú)論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會(huì)存在例外。另外，它還具有同一時(shí)間計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知變化量的能力，且其誤差容易確定。維數(shù)若要變化，只會(huì)引起抽樣所需的時(shí)間及計(jì)算估計(jì)量的時(shí)間的變化，并不會(huì)影響誤差，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)決定了蒙特卡洛算法對(duì)多維問(wèn)題的適應(yīng)性。 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點(diǎn)蒙特卡洛算法能夠逼真的描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)，并且受幾何條件的限制很小。為比較其誤差，我們可以假設(shè)獲得的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為，那么在時(shí)間內(nèi)生成的抽樣數(shù)，若使，則需使。在對(duì)同一個(gè)進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將增大100倍；要么固定將減小10倍。實(shí)際上，由此不僅確定了置信區(qū)間，還可以確定蒙特卡洛算法上的概率化誤差邊界，其誤差為，誤差收斂速度是。得出估計(jì)值后，通過(guò)中心極限定理，我們就可以得到估計(jì)的誤差量了。從嚴(yán)格意義上來(lái)講，這種隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生并不是隨機(jī)的，而是根據(jù)確定的遞推公式獲得的，所以被稱(chēng)之為偽隨機(jī)數(shù)，然而雖然它不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，但也并不會(huì)影響到估算結(jié)果。近年來(lái)，科技進(jìn)步，隨著高速電子計(jì)算機(jī)的問(wèn)世，使得運(yùn)用蒙特卡洛算法模擬大量數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)成為可能。蒙特卡洛生成的隨機(jī)數(shù)簡(jiǎn)而言之就是服從此種均勻分布的隨機(jī)變量。 得到的統(tǒng)計(jì)估計(jì)量和所要求的精確值的近似度與所選取的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，對(duì)于任意的，滿足 （）可以看出，當(dāng)時(shí)，收斂于。假設(shè)取到無(wú)限大，根據(jù)大數(shù)定律，將會(huì)幾乎取代的值，最終作為的近似值存在。以下舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)講述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如： （） 這個(gè)式子的含義為計(jì)算函數(shù)在[0，1]區(qū)間上的積分值，通過(guò)（）式，我們不難發(fā)現(xiàn)該算術(shù)式等價(jià)于計(jì)算數(shù)學(xué)期望 （）其中，變量是服從[0，1]區(qū)間上的均勻分布，即為。（2）對(duì)該模型進(jìn)行大量的抽樣數(shù)據(jù)模擬，用抽樣生成的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值作為所求得的解的近似估計(jì)值。elseNum(i)=0。 Num=zeros(length(X),1)。 X=rand(Number,1)。值得一提的是，蒙特卡洛算法生成的數(shù)據(jù)事實(shí)上是偽隨機(jī)數(shù)。蒙特卡洛算法就是一種所謂的“隨機(jī)化”的方法：向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，但必須保證投的點(diǎn)全部落在該“圖形”內(nèi)，則該圖形的面積近似于。蒙特卡洛算法誕生于17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的人們很聰明的知道利用某種事件的發(fā)生頻率來(lái)決定事件發(fā)生概率。在蒙特卡洛算法中用到的是隨機(jī)變量序列同分布的柯?tīng)柲曷宸驈?qiáng)大數(shù)定律。設(shè)，為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量序列，若，則有，其等價(jià)形式為。它又可以稱(chēng)之為計(jì)算機(jī)模擬方法，它的誕生是基于概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的，以中心極限定理和大數(shù)定律為主要理論基礎(chǔ)，同時(shí)蒙特卡洛又是在歐洲摩納哥的一個(gè)世界級(jí)賭城，故因此而得名。主要是對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了Halton偏低差序列后，使得期權(quán)價(jià)格更接近歐式看漲期權(quán)價(jià)格的真實(shí)值。蒙特卡洛算法的基本思路是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價(jià)格分布。 第三章主要就是建立歐式期權(quán)定價(jià)模型。 第二章主要介紹與本文相關(guān)的理論知識(shí)基礎(chǔ)。 第一章引言。總結(jié)一下也就是說(shuō)國(guó)內(nèi)的研究方向主要是集中在數(shù)值方法上，對(duì)近似解析方法的研究則是還比較少。同時(shí)，針對(duì)于解決歐式期權(quán)問(wèn)題的數(shù)值方法，國(guó)內(nèi)的研究人員對(duì)于這類(lèi)方法已經(jīng)提出了很多有效的改進(jìn)意見(jiàn)，例如李東等人利用小波的方式來(lái)計(jì)算美式看跌期權(quán)的定價(jià)，張鐵等人使用了有限元方法計(jì)算得出了美式期權(quán)的定價(jià)。蒙特卡洛模擬算法在學(xué)術(shù)界上來(lái)說(shuō)正式誕生是在1949年。中國(guó)山東大學(xué)的羅晨曦[10]在彭實(shí)戈教授的指導(dǎo)下也為此領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，彭實(shí)戈教授利用倒向隨機(jī)微分方程得到FeynmanKac公式，該公式在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用。徐博馳和田波平副教授[5]也研究了隨機(jī)沖擊環(huán)境對(duì)于金融市場(chǎng)上期權(quán)定價(jià)的影響，并指出了BlackScholes模型是存在一定的局限性的。姜禮尚、茅寧等人也相繼著有專(zhuān)著來(lái)研究討論有關(guān)期權(quán)及其應(yīng)用的一些相關(guān)問(wèn)題。早在1997年中，我國(guó)就已經(jīng)開(kāi)始掀起了關(guān)于金融衍生工具的研究熱潮，自此開(kāi)始，我國(guó)也不斷地有專(zhuān)著，譯著和與金融衍生物話題相關(guān)的論文問(wèn)世。下面，我們舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，針對(duì)于傳統(tǒng)的 BlackScholes 模型，股票假設(shè)為是不具有紅利的，R. Merton 則對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，并且他從另一方面重點(diǎn)提出了