【正文】 我們都知道累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密 度函數(shù)的積分。 任取一個(gè)整數(shù) n ，使它成為基是 jb 的數(shù)位，表示為 ? ??? ??Iiiji bnan0， 這樣于隨機(jī)數(shù)序列中的某個(gè)元素的第 j 個(gè)向量就為 ? ? ? ?10??? ?? ?jjIi ijn bnax ，為了更直觀些，下面我們來舉個(gè)例子：我們?nèi)?3?m ，表示是 3 維的隨機(jī)數(shù)序列，取自然界的前三個(gè)素?cái)?shù)為 5，取數(shù)字 17?n ，基于 5 為底，則可 以表示為 21000117? ，312217? ， 53217? ，將其反序分別為， 1000 22 23，再在數(shù)字前面加上小數(shù)點(diǎn)，便得到了 Halton 序列 ? ?532 2 0 0 0 ，? ，經(jīng)計(jì)算得 ? ?5 2 0 0 0 ,9 2 5 9 2 ,5 0 1 9 5 ?h ，再取數(shù)字 18?n ，仿照上述過程，依次循環(huán)就可得到整個(gè)序列了。例如，將 n 維的Halton 序列可以表示成 nhhh , 21 ??? ，不難看出，其中的每一個(gè) 隨機(jī)數(shù)都會(huì)是一個(gè) n天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 25 維向量，即表示為 ? ?iniii hhhh , 21 ???? 。MarkerSize39。r.39。 Y=randn(Number_Data,1)。 為了看得更直觀些，我們嘗試用 Matlab 生成隨機(jī)點(diǎn)在平面上的分布情況，見下圖（利用數(shù)學(xué)軟件 Matlab 生成的 1000 個(gè)點(diǎn)的隨機(jī)分布圖）天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 24 圖 41 生成 1000個(gè)隨機(jī)數(shù)的分布圖 圖 41生成代碼如下： Number_Data=100。 擬蒙特卡洛算法 在本文第二章中就有介紹經(jīng)典的蒙特卡洛算法在取隨機(jī)數(shù)時(shí)，大多是采用Excel 軟件 rand 函數(shù)和數(shù)學(xué)工具 Matlab 中的 randn 函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，這些函數(shù)里面給出的隨機(jī)數(shù)雖然滿足于大部分的隨機(jī)要求，但是這些 生成的隨機(jī)數(shù)字仍然會(huì)存在一些無法忽略的較大偏差，有可能隨機(jī)性較強(qiáng)，數(shù)字分布的并不均勻，因此為了避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，我們有必要對(duì)蒙特卡洛算法進(jìn)行改進(jìn)，我們引入一個(gè)新的概念叫做低偏差序列，該序列的作用主要就是可以使得生成的隨機(jī)數(shù)均勻化，隨機(jī)數(shù)的均勻的程度越高，產(chǎn)生的偏差也就會(huì)越小，對(duì)于經(jīng)典蒙特卡洛算法改進(jìn)的效果就越是明顯。不難看出，前者本質(zhì)上就是增大了對(duì)估計(jì)值更有用的隨機(jī)抽樣出現(xiàn)的概率，這樣做的目的確保了估計(jì)值模擬效率的提高。 除了上述兩種縮減方差技術(shù)外，我們還有重要性抽樣技術(shù)以及條件蒙特卡洛路徑模擬兩種手段。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 23 從中，我們可以看出，對(duì)偶變量縮減方差法的比例為： ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?????? 11121212/2121iiiiiiiYV a rYV a rYYV a rYV a rYV a rYV a r （ ） 對(duì)于使用對(duì)偶控制變量法而言，通過（ ）式我們很容易發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng) 0?? 時(shí)，估計(jì)到的方差值才能夠得到縮減，若所估計(jì) 的算術(shù)式為單調(diào)函數(shù)的時(shí)候，使用對(duì)偶控制變量法的方差的縮減效果會(huì)更加明顯，但是如果需求解得方程是線性方程的話，那么利用對(duì)偶變量法求得的估量值的誤差就為零，也就是可以直接求得真實(shí)值了。 對(duì)偶變量法 提到縮減方差技術(shù)，對(duì)偶變量法也是其中之一，它利用的是變量間的負(fù)相關(guān)性，例如說對(duì)于積分 ? ?dyyfY ?? 10，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下關(guān)于 Y的兩個(gè)估計(jì)值： ? ? ???? ??Ni iNi ia YNufNY 1111 （ ） ? ? ???? ???Ni iNi ib YNufNY 139。 控制變量法 我們現(xiàn)在假設(shè)一隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望 ??YE 的蒙特卡洛算法模擬出的估計(jì)量為 Y ，令 ? ?YE 的另一隨機(jī)變量的控制估計(jì)法變量為 CVY ，令 ? ?xCV XbYY ???? ，b 為任意一常數(shù)， X 為任一隨機(jī)變量，且 ? ?XEx ?? ， x? 為任意常數(shù)，同上， ? ?CVYE的蒙特卡洛算法估計(jì)量表示為 ? ?xCV XbYY ???? ，又 ? ? ? ?YEYE CV ? ，可知 ??YE 的無偏估計(jì)量為 CVY ，我們有 ? ? ? ?? ? 222 2 XYXXYYxCV bbXbYVa rYVa r ?????? ?????? （ ） 當(dāng) YXXYX bb ???? 222 ? 時(shí)，新產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差是小于原始隨機(jī)變量Y 的方差的，當(dāng) ? ?XYXYXV ar YXC ovb ? ???? )( ,* 時(shí)，產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差最小，最小方差為 ? ?? ?21 XYYVar ?? 。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 21 4 蒙特卡洛算法的改進(jìn) 縮減方差技術(shù) 我們已經(jīng)在 節(jié)中討論過蒙特卡洛算法的優(yōu)點(diǎn)了，雖然蒙特卡洛算法在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)已經(jīng)很精確了，但是它依然有很多不足的地方，因?yàn)樵撍惴▽?duì)于相對(duì)較復(fù)雜的證券而言，只能通過大量的模擬，否則就會(huì)產(chǎn)生較大誤差，這樣在處理問題上會(huì)有很大的限制，而且在前幾節(jié)中，我們也說過蒙特卡洛算法的收斂速度是 ???????? 21nO ，速度相對(duì)較慢，所以為了提高精度，就得成倍加大試驗(yàn)次數(shù)，這樣會(huì)顯得很繁瑣，正因如此，控制方差就成了蒙特卡洛算法中最為重要的步驟。但是，大量次數(shù)的模擬仍然會(huì)給計(jì)算機(jī)帶來強(qiáng)大的負(fù)荷，這易使計(jì)算機(jī)發(fā)生死機(jī)狀態(tài)，那么，為了避免這種情況的發(fā)生又不影響期權(quán)價(jià)格的計(jì)算的精度，就引入了一個(gè)新的概念， 叫做邊際模擬價(jià)值，其計(jì)算方法如下式所示： 次模擬期權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率邊際模擬價(jià)值 10 00/?，當(dāng)邊際模擬價(jià)值取到很小可以忽略不計(jì)時(shí)，我們就可以認(rèn)為所求值與近似值幾乎一致。我們?nèi)〉氖悄M后得到的期權(quán)平均價(jià)格為 。 end plot(0:1/50:1,s) 使用蒙特卡洛算法模擬出來的路徑如下圖所示 ： 圖 31 A股蒙特卡洛算法路徑模擬圖 通過數(shù)學(xué)工具 Matlab，得到計(jì)算機(jī)計(jì)算出的歐式期權(quán)價(jià)格為 元。 s=[100*ones(100,1) zeros(100,50)]。 deltaT=1/50。 r=。 為了使上面闡述的理論更清楚些，我們舉個(gè)簡單例子說明。 （ 4） 求得樣本平均值，進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值 ? ? ? ?m KSrTCmCmjjTmjjMC???????? 11,0m a xe x p1 （ ） 另外，我們還可以通過 以上公式得到蒙特卡洛模擬值與真實(shí)值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價(jià)的優(yōu)勢之一。 由此可知，計(jì)算期權(quán)價(jià)格即就是計(jì)算一個(gè)期望值，蒙特卡洛算法便是用于估計(jì)期望值的，因此可以得到期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛算法。蒙特卡洛算法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)中性原理的期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到 dWdtrSd ?? ????????? ?? 2ln2 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????????? ???????????? ??? tTtTrNWWtTrSS tTtr 222 ,2~2lnln ???? （ ） ? ? ? ????????? ??????????? ?? tTtT WWtTrSS ??2e x p 2 （ ） 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，假設(shè) ? ?2,~ ??? N ， ?? e? ，則 ? 的密度函數(shù)為 ? ? ? ???????????????? ???0002lne x p2 1 22xxxxxp ? ???? （ ） 根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn) TS 的密度函數(shù)如下 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 ? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????00022lne x p21222xxtTtTrSxxtTxPt???? （ ） 在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?KSEtTrtSV TQ ???? ,0m a xe x p, （ ） ? ?? ?? ?? ?? ?? ?dxtTtTrSxtTxKdxtTtTrSxtTKSEKKTQ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22222222lne x p222lne x p21,0m a x???????? （ ） 接下來，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望，對(duì)（ ）式的右側(cè)第一個(gè)廣義積分做變量替換 ? ?tT tTrSxy ?????????? ??? ??2ln2和 tTyu ??? ? ，可以得到 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?12ln22ln22222222212122lne x p21dNSedueSedueSedxtTtTrSxtTtTrtTtTrKSutTrtTtTrSKutTrK??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 再對(duì)等式右側(cè)的第二個(gè)無窮積分，令 ? ?tT tTrSxu ? ????????? ???? ??2lnln2，可求得 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 ? ?? ?? ?? ?? ?22lnln22lnln22222222212122lne x p2dKNdueKdueKdxtTtTrSxtTxKtTtTrKSutTtTrSKuK?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 將以上求出的計(jì)算結(jié)果帶入期望等式中，最終得到歐 式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21,0m a x, dNKedSNKSeEtSV tTrTtTrQ ???? ???? （ ） 其中 ? ?tTtTrKSd ?????????? ??? ??2ln21 ， tTdd ??? ?12 。 歐式看漲、看跌期權(quán)的終邊值條件分別為： 歐式看漲期權(quán)終、邊值條件