高考理科數(shù)學(xué)數(shù)列的極限復(fù)習(xí)資料-資料下載頁(yè)
2025-08-11 14:46本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】地接近于②)，那么就說(shuō)數(shù)列{an}的極限為a，若|q|＜1，q為常數(shù)，則=⑨.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若|q|＜1，解:排除法：取an=(-1)n，排除A；當(dāng)0＜a＜3時(shí)，原式。限注意分類討論.解法1：由題設(shè)知，得an+1=t2an+1.
【正文】 ?? ? ? ?? ?? ? ? ?22222222l i m l i m2 4 424lim2 ( 2 )41l i m l i m2 2 2 2xxxxxa x babx x xa x a bxxa a bx x x?????????????? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ?，6 43 ? 3. 設(shè)函數(shù) f(x)= ， g(x)= ? 試確定函數(shù) F(x)= f(x)+ g(x)的連續(xù)區(qū)間 . ? 解： 由題設(shè)， ? F(x)= 題型 3 函數(shù)的連續(xù)性 x (x≥0) 0 (x＜ 0) x+1 (x＜ 1) x (x≥1)， x+1 (x＜ 0) 2x+1 (0≤x＜ 1) 2x (x≥1). 44 ? 因?yàn)? ? 所以 F(x)在 x=0處連續(xù) . ? 因?yàn)? ? 所以 F(x)在點(diǎn) x=1處不連續(xù)， ? 而 F(x)在其余各點(diǎn)都連續(xù) . ? 故 F(x)的連續(xù)區(qū)間是 (∞， 1)， (1， +∞). ? ? ? ? ? ?00li m 1 li m 1 0 1 ,xxF x F x F???? ? ? ?， ，? ? ? ?11li m 2 li m 3xxF x F x???? ??， ，45 ? 點(diǎn)評(píng)： 函數(shù)的連續(xù)性 ， 一是可以根據(jù)圖象來(lái)觀察；二是根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn) x0處連續(xù)的充要條件： ? 來(lái)轉(zhuǎn)化 ， 得到相應(yīng)的等式 . ? ? ? ?00 0li m li m ( )x x x xf x f x f x???? ??46 ? 已知函數(shù) ? (1)試求 f(x)的定義域，并畫(huà)出 f(x)的圖象； ? (2)求 并指出 是否存在 . ? 解： (1)當(dāng) |x|＞ 2時(shí)， ? 當(dāng) |x|＜ 2時(shí)， ? ? 2l i m .2 nnnnx xfx x?? ?? ?? ?22li m , li m ( )xxf x f x??? ? ? ? ，2li m ( )x fx??1122l i m l i m 1 。2 2nnnnnnxxx xxx??? ? ? ?????? ??? ? ?? ??????1122l i m l i m 1 。2 2nnnnnnxxx xxx??? ? ? ?????? ????? ??????47 ? 當(dāng) x=2時(shí)， ? 當(dāng) x=2時(shí)， 不存在， f(x)不存在 . ? 所以 ? f(x)= 2l i m 02nnnnxxx??? ??2lim 2nnnnxxx????1 (x2或 x2) 0 (x=2) 1 (2x2). 48 ? 所以 f(x)的定義域是 {x|x∈ R且 x≠2}. ? 圖象如下圖 . ? (2)因?yàn)? ? 所以 不存在 . ? ? ? ?22li m 1 , li m 1 ,xxf x f x??? ? ? ?? ? ?2li m ( )x fx??49 ? 1. 函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x0處有極限，不要求 f(x)在 x=x0時(shí)有意義，即 x0可以不在函數(shù) f(x)的定義域內(nèi) .即使 f(x)在 x=x0處有定義， ? 也不一定等于 f(x0).若 存在，且 則 ? 2. 遇到求 型，或 型或 ∞∞型函數(shù)極限時(shí)，則應(yīng)對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行恒等變形，變形手段主要有：因式分解，通分與分解，分子或分母有理化等 . 0lim ( )xx fx? ? ?0l i m ( )xx f x g x?? ?0l i m 0xx gx? ? ， ? ?0l i m fx? ?00??50 ? 3. 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) .如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 ［ a， b］ 內(nèi)連續(xù) ，且 f(a)f(b)＜ 0， 則必存在 x0∈ (a， b)， 使得f(x0)=0. ? 4. 函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù) ， 反映在函數(shù)的圖象上是在點(diǎn) x= x0處是不間斷的 ， 這是 “ 連續(xù) ” 的直觀理解 . ? 5. 如果函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處不連續(xù) ， 則稱 x0是f(x)的間斷點(diǎn) .如果函數(shù) f(x)在 x0間斷 ， 則可能有下列三種情況： 51 ? (1)f(x)在點(diǎn) x0沒(méi)有定義； ? (2) f(x)在點(diǎn) x0有定義， ? 但是極限 不存在； ? (3) f(x)在點(diǎn) x0處有定義，且極限 ? 存在，但是 ? 6. 由連續(xù)函數(shù)的定義及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，我們可以得到連續(xù)函數(shù)的下列運(yùn)算性質(zhì)： ? ?0limxx fx?? ?0limxx fx?? ? ? ?0 0li m .xx f x f x? ?52 ? 如果函數(shù) f(x)、 g(x)在某一點(diǎn) x=x0處連續(xù)，那么函數(shù) f(x)177。 g(x)， f(x) g(x)， 在點(diǎn) x=x0處都連續(xù) . ? 7. 由連續(xù)函數(shù)的定義，我們可以得到計(jì)算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù) f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點(diǎn) x0是定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，那么求 x→ x0時(shí)函數(shù) f(x)的極限，只要求出 f(x)在點(diǎn) x0處的函數(shù)值 f(x0)就可以了，即 ? ?? ? ( ( ) 0 )fx gxgx ?? ? ? ?0 0li m .xx f x f x? ?
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