【導(dǎo)讀】1．探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法；等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的實際問題。目都考察考生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度；3．?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強，如與解析幾何的結(jié)合等；4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；③歸納、猜想法。多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。nb的前n項和nS。一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。

　　

【正文】 ， An＞ Bn 成立 . （ 3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得 a3a4＝ 10，且 a a4 均為非負(fù)整數(shù)，所以 a3 的可能的 值為1， 2， 5， 10． 若 a3＝ 1，則 a4＝ 10， a5＝ 23 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 5，則 a4＝ 2， a5＝ 235 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 10，則 a4＝ 1， a5＝ 60， a6＝ 53 ，與題設(shè)矛盾 . 所以 a3＝ 2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng) n＝ 3， a3＝ a1＋ 2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng) n＝ k（ k≥ 3）時等式成立，即 ak＝ ak－ 2＋ 2,由題設(shè) ak＋ 1ak＝（ ak－ 1＋ 2）178。（ ak－ 2＋ 2）， 因為 ak＝ ak－ 2＋ 2≠ 0，所以 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2， 也就是說，當(dāng) n＝ k＋ 1 時，等式 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2 成立； 根據(jù)①和②，對于所有 n≥ 3，有 an+1=an－ 1+2。 第 19 頁 共 23 頁 （Ⅲ）解：由 a2k－ 1＝ a2（ k－ 1）－ 1＋ 2， a1＝ 0，及 a2k＝ a2（ k－ 1） ＋ 2， a2＝ 3 得 a2k－ 1＝ 2（ k－ 1）， a2k＝ 2k＋ 1， k＝ 1， 2， 3，?，即 an＝ n＋（－ 1） n， n＝ 1， 2， 3，?。 所以 Sn＝??????????.,1)1(21,),1(21為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)nnnnnn 點評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前 n 項和等基礎(chǔ)知識，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。 題型 5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例 9．（ 1）（ 20xx 江蘇 3） 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中，首項 a1＝ 3，前三項和為 21，則 a3＋ a4＋ a5＝（ ） （ A） 33 （ B） 72 （ C） 84 （ D） 189 （ 2）（ 20xx 上海， 12）在等差數(shù)列｛ an｝中，若 a10＝ 0，則有等式 a1+a2+?＋ an=a1+a2+?＋ a19－ n（ n＜ 19， n∈ N) 成立 .類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛ bn｝中，若 b9＝ 1，則有等式 成立。 解析：（ 1）答案： C；解：設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q(q0)，由題意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q6=0，求得 q=2(q=－ 3 舍去 )，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4 ,8421??故選 C。 （ 2）答案： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）； 解：在等差數(shù)列｛ an｝中，由 a10＝ 0，得 a1＋ a19＝ a2＋ a18＝?＝ an＋ a20－ n＝ an＋ 1＋ a19－ n＝ 2a10＝ 0， 所 以 a1＋ a2＋?＋ an＋?＋ a19＝ 0，即 a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1， 又∵ a1＝－ a19， a2＝－ a18，?， a19－ n＝－ an＋ 1 ∴ a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1＝ a1＋ a2＋?＋ a19－ n， 若 a9＝ 0，同理可得 a1＋ a2＋?＋ an＝ a1＋ a2＋ a17－ n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛ bn｝中，則可得： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）。 點評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。 例 10．（ 1） 設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n 項和為 80，前 2n 項和為 6560，且前 n 項中數(shù)值最大的項為 54，求此數(shù)列的首項和公比 q。 （ 2） 在n1和 1?n 之間插入 n 個正數(shù)，使這 2?n 個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n 個數(shù)之積。 （ 3）設(shè)等比數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的 4 倍，且第二項與第四項的積是第 3 項與第 4 項和的 9 倍，問數(shù)列 {lgan}的前多少項和最大？ (lg2=0新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 3,lg3=) 解析 ： （ 1） 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項和為 Sn， 依題意設(shè)： a1＞ 0， Sn=80 ， S2n=6560。 第 20 頁 共 23 頁 ∵ S2n≠2Sn ， ∴ q≠1； 從而 ? ?1 11naqq??=80， 且 21(1 )1naqq??=6560。 兩式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81。 ∴ a1=q－ 1＞ 0 即 q＞ 1,從而等比數(shù)列｛ an｝為遞增數(shù)列，故前 n 項中數(shù)值最大的項為第 n 項 。 ∴ a1qn1=54,從而 (q－ 1)qn1=qnqn1=54。 ∴ qn1=81－ 54=27 ∴ q=1 8127nhqq ? ?=3。 ∴ a1=q－ 1=2 故此數(shù)列的首為 2，公比為 3。 （ 2）解法 1：設(shè)插入的 n 個數(shù)為 nxxx , 21 ? ，且公比為 q， 則 ,2,1,1),1(,11 11 nkqnxnnqqnn kknn ???????? ?? 22 )1(21221 )1(11111 nnnnnnnnn nnqnqnqnqnqnxxxT ???????????? ???? ??? 。 解法 2：設(shè)插入的 n 個數(shù)為 nxxx , 21 ? ， 1,110 ??? ? nxnx n nnxxxxxx nnn 112110 ???????? ?? ? nn xxxT ???? ?21 nnnnn nnxxxxxxT )1()()()( 11212 ?????? ? ? 2)1( nn nnT ??? 。 （ 3） 解法一新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 設(shè)公比為 q,項數(shù)為 2m,m∈ N*， 依題意有 ：???????????????)(9)()(1)1(1)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqa mm ， 第 21 頁 共 23 頁 化簡得????????????????10831 ),1(9114121 aqqqaqq解得， 設(shè)數(shù)列 {lgan}前 n 項和為 Sn， 則 Sn=lga1+lga1q2+…+lg a1qn－ 1=lga1nq1+2+…+( n－ 1) =nlga1+21n(n－ 1)lgq=n(2lg2+lg3)－21n(n－ 1)lg3 =(－23lg)n2+(2lg2+27lg3)n 可見，當(dāng) n=3lg3lg272lg2 ? 時， Sn 最大 ， 而 3lg272lg2? ????? =5,故 {lgan}的前 5 項和最大 ， 解法二新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 接前，???????311081qa ,于是 lgan=lg［ 108(31)n－ 1］ =lg108+(n－ 1)lg31， ∴ 數(shù)列 {lgan}是以 lg108 為首項，以 lg31為公差的等差數(shù)列， 令 lgan≥0， 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥0， ∴ n≤ 3lg42lg2 ?????=， 由于 n∈ N*,可見數(shù)列 {lgan}的前 5 項和最大 。 點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。 題型 6：等差、等比綜合問題 例 11．（ 20xx 年廣東卷） 已知公比為 )10( ??qq 的無窮等比數(shù)列 }{na 各項的和為 9，無窮等比數(shù)列 }{2na 各項的和為581。 (Ⅰ )求數(shù)列 }{na 的首項 1a 和公比 q ； (Ⅱ )對給定的 ),3,2,1( nkk ???? ， 設(shè) )(kT 是首項為 ka ，公差為 12 ?ka 的等差數(shù)列．求數(shù)列 )(kT 的前 10 項之和 。 第 22 頁 共 23 頁 解析： (Ⅰ )依題意可知 ：???????????????????323581191 12121qaqaqa， (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 , 1323?????????nna， 所以數(shù)列 )2(T 的的首項為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad ， 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10 項之和為 155。 點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 an＋ 2＝ 21?na 來判斷； （ 2）等比數(shù)列的通項公式為 an＝ a1178。 qn－ 1； （ 3）對于 G 是 a、 b 的等差 中項，則 G2＝ ab， G＝177。 ab ； （ 4）特別要注意等比數(shù)列前 n 項和公式應(yīng)分為 q＝ 1 與 q≠ 1 兩類，當(dāng) q＝ 1 時， Sn＝ na1，當(dāng) q≠ 1 時， Sn＝qqan???1 )1(1， Sn＝q qaa n? ??11。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項：對于數(shù) 列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。 3． 等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果 na 是等 比 數(shù)列的第 n 項， ma 是等差數(shù)列的第 m項，且 nm? ，公 比 為 q ，則有 mnmn qaa ?? ； ②對于 等比 數(shù)列 ??na ，若 vumn ??? ，則 vumn aaaa ??? ， 也就 是 ：???????? ?? 23121 nnn aaaaaa ，如圖所示： ???? ????? ?? ??? ???? ?? ?nnaanaann aaaaaa?????112,, 12321 。 ③若數(shù)列 ??na 是等 比 數(shù)列， nS 是其前 n 項的和， *Nk? ，那么 kS ， kk SS ?2 ， kk SS 23 ?成等 比 數(shù)列。 如下圖所示： 第 23 頁 共 23 頁 ??????????? ???????????? ???? ??? ?? ??? ??? ?? ???? ???? ?? ?kkkkkSSSkkSSkkk aaaaaaaa3232k31221S321???? ??????????