【正文】 {an}是等比數(shù)列，則12aa =a，即 baaa ??)1( =a，所以只有當(dāng) b=－ 1 且 a≠ 0 時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 由命題 2 得， a1=a+b+c，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=2na+b－ a，若 {an}是等差數(shù)列，則a2－ a1=2a，即 2a－ c=2a，所以只有當(dāng) c=0 時，數(shù)列 {an}才是等差數(shù)列。 由命題 3 得， a1=a－ 1，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=a－ 1，顯然 {an}是一個常數(shù)列，即公差為 0 的等差數(shù)列，因此只有當(dāng) a－ 1≠ 0；即 a≠ 1 時數(shù)列 {an}才又是等比數(shù)列。 點(diǎn)評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系， 上述三個命題均涉及到 Sn 與 an的關(guān)系，它們是 an=??? ?? ,11nn SSa 時當(dāng) 時當(dāng) 21??nn ，正確判斷數(shù)列 {an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題，選擇 A。 題型 2：等比數(shù)列的判定 例 3．（ 20xx 全國理， 20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛ ｝，其中 ＝ 2n＋ 3n，且數(shù)列｛ ＋ 1－ p｝為等比數(shù)列，求常數(shù) p；（Ⅱ）設(shè)｛ an｝、｛ bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列， =an+bn，證明數(shù)列｛ ｝不是等比數(shù)列。 解析：（Ⅰ）解：因為｛ ＋ 1－ p｝是等比數(shù)列， 故有：（ ＋ 1－ p） 2＝（ ＋ 2－ p＋ 1）（ － p－ 1）， 將 ＝ 2n＋ 3n 代入上式，得： ［ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1－ p（ 2n＋ 3n）］ 2＝［ 2n＋ 2＋ 3n＋ 2－ p（ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1）］178。 ［ 2n＋ 3n－ p（ 2n－ 1＋3n－ 1）］， 即［（ 2－ p） 2n＋（ 3－ p） 3n］ 2 ＝［（ 2－ p） 2n＋ 1＋（ 3－ p） 3n＋ 1］［（ 2－ p） 2n－ 1＋（ 3－ p） 3n－ 1］， 第 15 頁 共 23 頁 整理得 61 （ 2－ p）（ 3－ p）178。 2n178。 3n＝ 0，解得 p=2 或 p=3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛ an｝、｛ bn｝的公比分別為 p、 q， p≠ q， =an+bn。 為證｛ ｝不是等比數(shù)列只需證 c22≠ c1178。 c3。 事實上， c22＝（ a1p＋ b1q） 2＝ a12p2＋ b12q2＋ 2a1b1pq， c1178。 c3＝（ a1＋ b1）（ a1p2＋ b1q2）＝ a12p2＋ b12q2＋ a1b1（ p2＋ q2）， 由于 p≠ q， p2＋ q2＞ 2pq，又 a b1 不為零， 因此 c22≠ c1178。 c3，故｛ ｝不是等比數(shù)列。 點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 例 4．（ 20xx 京春， 21）如圖 3— 1，在邊長為 l 的等邊△ ABC中，圓 O1 為△ ABC 的 內(nèi)切圓，圓 O2 與圓 O1 外切，且與 AB，BC 相切，?，圓 On+1 與圓 On 外切，且與 AB、 BC 相切，如此無限繼續(xù)下去 .記圓 On 的面積為 an（ n∈ N*），證明 {an}是等比數(shù)列； 證明：記 rn 為圓 On 的半徑，則 r1=2l tan30176。 = l63 。nnnn rr rr ????11 =sin30176。 =21 ，所以 rn=31 rn－ 1（ n≥ 2），于是 a1=π r12=91)(,12 2112 ???? nnnn rraal? ，故 {an}成等比數(shù)列。 點(diǎn)評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進(jìn)行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解 析。 題型 3：等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用 例 5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上 4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上 32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列 。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為 a， aq， aq2； 則 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32)； 解得 a=2， q=3 或 a=92， q=－ 5； 故所求的等比數(shù)列為 2， 6,18 或92，－910，950。 點(diǎn)評： 第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實用，缺點(diǎn)是有時計算較繁。 例 6．（ 20xx 年陜西卷） 已知正項數(shù)列 ??na ，其前 n 項和 nS 滿足 210 5 6,n n nS a a? ? ?且 1 2 15,a a a 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 的通項 .na 圖 3— 1 第 16 頁 共 23 頁 解 析： ∵ 10Sn=an2+5an+6， ① ∴ 10a1=a12+5a1+6， 解之得 a1=2 或 a1=3。 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2)， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)， 即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)。 當(dāng) a1=3 時 ， a3=13， a15=73， a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3； 當(dāng) a1=2 時 ,， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n－ 3。 點(diǎn)評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 題型 4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例 7．（ 1）（ 20xx 年遼寧卷）在等比數(shù)列 ??na 中 , 1 2a? ,前 n 項和為 nS ,若數(shù)列 ? ?1na?也是等比數(shù)列 ， 則 nS 等于 （ ） A． 122n? ? B． 3n C． 2n D． 31n? （ 2） （ 20xx 年北京卷）設(shè) 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N?? ? ? ? ? ? ?，則 ()fn 等于 （ ） A． 2(8 1)7 n? B． 12(8 1)7 n? ? C． 32(8 1)7 n? ? D． 42(8 1)7 n? ? （ 3）（ 1996 全國文， 21）設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項和為 Sn，若 S3＋ S6＝ 2S9，求 數(shù)列的公比 q； 解 析：（ 1） 因數(shù)列 ??na 為等比，則 12 nnaq?? ，因數(shù)列 ? ?1na? 也是等比數(shù)列， 則221 2 1 1 2 2 2 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2( 1 2 ) 0 1n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a aa q q q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 2na? ，所以 2nSn? ，故選擇答案 C。 （ 2） D； （ 3）解：若 q=1，則有 S3=3a1， S6=6a1， S9=9a1。 因 a1≠ 0， 得 S3+S6≠ 2S9，顯然 q=1 與題設(shè)矛盾，故 q≠ 1。 由 S3+S6=2S9，得q qaqqaqqa ???????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 ，整理得 q3（ 2q6－ q3－ 1）=0，由 q≠ 0，得 2q6－ q3－ 1=0，從而（ 2q3＋ 1）（ q3－ 1） =0，因 q3≠ 1，故 q3=－ 21 ，所以 q=－ 243 。 點(diǎn)評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應(yīng)好首項和公比求出最終結(jié)果即可。 第 17 頁 共 23 頁 例 8．（ 1）（ 20xx 江蘇， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， a1＝ b1＝ 1， a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3．分別求出｛ an｝及｛ bn｝的前 10 項的和 S10及 T10； （ 2）（ 20xx 全國春季北京、安徽， 20）在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) a1， a2， a3??，an，使這 n＋ 2 個數(shù)成等比數(shù)列；又在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) b1， b2， b3，??， bn，使這 n＋ 2 個數(shù)成等差數(shù)列 .記 An＝ a1a2a3?? an， Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋??＋ bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛ An｝和｛ Bn｝的通項； （Ⅱ）當(dāng) n≥ 7 時，比較 An 與 Bn 的大小，并證明你的結(jié)論。 （ 3）（ 20xx 天津理 ， 22）已知｛ an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足 a1＝ 0， a2＝ 3， an＋ 1an＝（ an－ 1＋ 2）（ an－ 2＋ 2）， n＝ 3， 4， 5，?． （Ⅰ）求 a3； （Ⅱ）證明 an＝ an－ 2＋ 2， n＝ 3， 4， 5，?； （Ⅲ）求｛ an｝的通項公式及其前 n 項和 Sn。 解析：（ 1）∵｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， ∴ a2＋ a4＝ 2a3， b2b4＝ b32． 已知 a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3， ∴ b3＝ 2a3， a3＝ b32． 得 b3＝ 2b32． ∵ b3≠ 0 ∴ b3＝ 21 ， a3＝ 41 ． 由 a1＝ 1， a3＝ 41 知｛ an｝的公差為 d＝ 83? ， ∴ S10＝ 10a1＋ 8552 910 ??? d ． 由 b1＝ 1， b3＝ 21 知｛ bn｝的公比為 q＝ 22 或 q＝ 22? ． 當(dāng) q＝ 22 時， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT， 當(dāng) q＝ 22? 時， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT。 （ 2）（Ⅰ）設(shè)公比為 q，公差為 d，等比數(shù)列 1， a1， a2，??， an， 2，等差數(shù)列 1，b1， b2，??， bn， 2。 則 A1＝ a1＝ 1178。 q A2＝ 1178。 q178。 1178。 q2 A3＝ 1178。 q178。 1178。 q2178。 1178。 q3 又∵ an＋ 2＝ 1178。 qn＋ 1＝ 2 得 qn＋ 1＝ 2， 第 18 頁 共 23 頁 An＝ q178。 q2? qn＝ q 222 )1( nnn ??? （ n＝ 1， 2， 3?） 又∵ bn＋ 2＝ 1＋ （ n＋ 1） d＝ 2 ∴（ n＋ 1） d＝ 1 B1＝ b1＝ 1＋ d B2＝ b2＋ b1＝ 1＋ d＋ 1＋ 2d Bn＝ 1＋ d＋?＋ 1＋ nd＝ 23 n （Ⅱ） An＞ Bn，當(dāng) n≥ 7 時 證明：當(dāng) n＝ 7 時， 23． 5＝ 8178。 2 ＝ An Bn＝ 23 179。 7，∴ An＞ Bn 設(shè)當(dāng) n＝ k 時， An＞ Bn，則當(dāng) n＝ k＋ 1 時， 2121 2 ?? ? kkA 23231 ??? kBk 又 ∵ Ak+1＝ 2 178。 2k 23231 ??? kBk且 Ak＞ Bk ∴ Ak＋ 1＞ 2 178。 23 k ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 2323)12(2323232 ??????? kkk 又∵ k＝ 8， 9， 10? ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 0，綜上所述