【正文】 增函數(shù) 。 所以對 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 1 1 2 2 11 2 1 1 1 2[ ( 1 ) ] [ . . . . . 1 ]. . . . .n n n n k n k nn n n nn n k n k nn n n nx x x x C x C x C x C xC x C x C x C x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 對上式兩邊求導(dǎo)得 ： 1 1 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 ) .. 2 1n n n n n n k n k nn n n nx x n x x n x n C x n C x n k C x C x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 2( ) (1 ) (1 )n n nF x x n x x n x?? ? ? ? ? 11( 1 ) ( 0 ) 2 2 1 ( 2 ) 2 1n n nF F n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 題型 6：數(shù)列實際應(yīng)用題 例 11．某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款 10 萬元，第一年便可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 30%的利潤；乙方案：每年貸款 1 萬元，第一年可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 5 千元；兩種方案的使用期都是 10 年，到期一次性歸還本息 . 若銀行兩種形式的貸款都按年息 5%的復(fù)利計算，試比較兩種方案中，哪種第 8 頁 共 23 頁 獲利更多？ （取 , 101010 ??? ） 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利： %)301(%)301(%)301(1 1092 ?????????? ?（萬元）， 銀行貸款本息： %)51(10 10 ?? （萬元）， 故甲方案純利： ?? （萬元）， ②乙方案獲利： 2 910110)()()(1 ?????????????? ? ? （萬元）； 銀行本息和： ]%)51(%)51(%)51(1[ 92 ???????? ? 10 ???? （萬元） 故乙方案純利： ?? （萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 例 12．（ 20xx 湖南 20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響 . 用 xn 表示某魚群 在第 n 年年初的總量， n∈ N*，且 x1＞ ，設(shè)在第 n 年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與 xn2 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù) a， b， c。 解析：（ I）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群的繁殖量為 axn，被捕撈量為 bxn，死亡量為第 9 頁 共 23 頁 .( * * )*),1(.( * )*, 1212 NncxbaxxNncxbxaxxxcx nnnnnnnnn ?????????? ?? 即因此 （ II）若每年年初魚群總量保持不變，則 xn 恒等于 x1， n∈ N*， 從而由（ *）式得： ..0*,0)( 11 c baxcxbaNncxbax nn ???????? 即所以恒等于 因為 x10，所以 ab。 （Ⅲ）若 b 的值使得 xn0， n∈ N* 由 xn+1=xn(3－ b－ xn), n∈ N*, 知 0xn3－ b, n∈ N*, 特別地，有 0x13－ b. 即 0b3－ x1。 由此猜測 b 的最大允許值是 1. 下證 當(dāng) x1∈ (0, 2) ， b=1 時，都有 xn∈ (0, 2), n∈ N* ①當(dāng) n=1 時，結(jié)論顯然成立。 又因為 xk+1=xk(2－ xk)=－ (xk－ 1)2+1≤ 12, 所以 xk+1∈ (0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時結(jié)論也成立 . 由①、②可知，對于任意的 n∈ N*，都有 xn∈ (0,2)。 題型 7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 13 ． （ 20xx 年北京卷）在數(shù)列 {}na 中，若 12,aa 是正整數(shù)，且12| |, 3 , 4 , 5 ,n n na a a n??? ? ?，則稱 {}na 為 “絕對差數(shù)列 ”。 解析： （Ⅰ） a1=3， a2=1， a3=2， a4=1， a5=1， a6=0， a7=1， a8=1， a9=0， a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ） 證明：根據(jù)定義，數(shù)列 {an}必在有限項后出現(xiàn)零項 .證明如下： 假設(shè) {an}中沒有零項，由于 an=|an1an2|，所以對于任意的 n，都有 an≥ 1,從而 當(dāng) an1 an2 時， an = an1 － an2 ≤ an1－ 1（ n≥3）； 當(dāng) an1 an2 時， an = an2 － an1 ≤ an2－ 1（ n≥3） , 即 an 的值要么比 an1 至少小 1，要么比 an2 至少小 1. 令 = 2 1 2 1 22 2 1 2( ),( ),n n nn n na a aa a a?????? ??n=1， 2， 3，??， 第 10 頁 共 23 頁 則 0≤ 1－ 1（ n=2， 3， 4??） . 由于 c1 是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項 c10 這與 0（ n=1， 2， 3??）矛盾 .從而 {an}必有零項。 點評：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 （ Ⅰ ）求 A 與 B 的值； （ Ⅱ ）證明數(shù)列 {an}為等差數(shù)列； （ Ⅲ ）證明不等式 51m n m na a a??對任何正整數(shù) m、 n 都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運用題，第一問由 a a a3 求出 s s s3 代入關(guān)系式，即求出 A、 B；第二問利用 )1(1 ??? ? nssa nnn 公式，推導(dǎo)得證數(shù)列 {an}為等差數(shù)列。 由 (5n－ 8)Sn+1－ (5n+2)Sn=An+B 知： ??? ????????? ??? ???? .482 .28,2122 ,732312 BA BABASS BASS 即。 （ Ⅱ ）方法 1 由（ 1）得，（ 5n8） Sn+1(5n+2)Sn=20n8, ① 所以 (5n3)Sn+2(5n+7)Sn+1=20n28, ② ② ① ,得 , (5n3)Sn+2(10n1)Sn+1+(5n+2)Sn=20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=20.④ ④ ③ ,得 (5n+2)Sn+3(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1(5n+2)Sn=0. 因為 an+1=Sn+1Sn 所以 (5n+2)an+3(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因為 (5n+2) 0? , 所以 an+32an+2+an+1=0, 即 an+3an+2=an+2an+1, 1?n . 又 a3a2=a2a1=5, 第 11 頁 共 23 頁 所以數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 設(shè) bn=5n4,則數(shù)列 }{nb 為等差數(shù)列，前 n 項和 Tn= ,2 )35( ?nn 于是 (5n8)Tn+1(5n+2)Tn=(5n8) ,8202 )35()25(2 )25)(1( ???????? nnnnnn 由惟一性得 bn=a,即數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 點評 ：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運算能力等。 （ 4） 倒序相加法 ： 類似于等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)方法 . （ 5） 分組求和法 第 12 頁 共 23 頁 （ 6） 累加（乘）法等 。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 29） — 等比數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1． 通過實例，理解等比數(shù)列的概念 ； 2． 探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和的公式 ； 3． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點。 預(yù)測 07 年高考對本講的考察為： （ 1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的 1~2 道客觀題目； （ 2）關(guān)于等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點； （ 3）解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運用數(shù)學(xué) 知識分析問題和解決問題的能力。（注意：“從第二項起”、 “常數(shù)” q 、等比數(shù)列的公比和項都不為零） 2．等比數(shù)列通項公式為： )0( 111 ???? ? qaqaa nn 。 3．等比中項 如果在 ba與 中間插入一個數(shù) G ，使 bGa , 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 ba與 的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。 說明：（ 1） nSnqa ,1 和 nn Sqaa ,1 各已知三個可求第四個；（ 2）注意求和公式中是 nq ，通項公式中是 1?nq 不要混淆；（ 3）應(yīng)用求和公式時 1?q ，必要時應(yīng)討論 1?q 的情況。 命題 1 中未考慮各項都為 0 的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 第 14 頁 共 23 頁 命題 2 中可知 an+1=an179。 點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 an－ 1。 由命題 2 得， a1=a+b+c，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=2na+b－ a，若 {an}是等差數(shù)列，則a2－ a1=2a，即 2a－ c=2a，所以只有當(dāng) c=0 時，數(shù)列 {an}才是等差數(shù)列。 點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系， 上述三個命題均涉及到 Sn 與 an的關(guān)系，它們是 an=??? ?? ,11nn SSa 時當(dāng) 時當(dāng) 21??nn ，正確判斷數(shù)列 {an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。 題型 2：等比數(shù)列的判定 例 3．（ 20xx 全國理， 20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛ ｝，其中 ＝ 2n＋ 3n，且數(shù)列｛ ＋ 1－ p｝為等比數(shù)列，求常數(shù) p；（Ⅱ）設(shè)｛ an｝、｛ bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列， =an+bn，證明數(shù)列｛ ｝不是等比數(shù)列。 ［ 2n＋ 3n－ p（ 2n－ 1＋3n－ 1）］， 即［（ 2－ p） 2n＋（ 3－ p） 3n］ 2 ＝［（ 2－ p） 2n＋ 1＋（ 3－ p） 3n＋ 1］［（ 2－ p） 2n－ 1＋（ 3－ p） 3n－ 1］，