名校使用20xx高考文復(fù)習(xí)資料：5-4數(shù)列求和-在線瀏覽
2025-03-02 16:24本頁(yè)面
【正文】 滿足： b n ＝ a n ＋ ( － 1)nl n a n ，求數(shù)列 { b n } 的前 2 n 項(xiàng)和 S 2 n . 審題視點(diǎn)】 觀察出 a 1 ， a 2 ， a 3 求 a n ，化簡(jiǎn) b n 轉(zhuǎn)化數(shù)列． 聚焦考向透析 【解】 ( 1) 當(dāng) a1＝ 3 時(shí)，不合題意； 當(dāng) a1＝ 2 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) a2＝ 6 ， a3＝ 18 時(shí)，符合題意； 當(dāng) a1＝ 10 時(shí)，不合題意． 因此 a1＝ 2 ， a2＝ 6 ， a3＝ 18. 所以公比 q ＝ 3 ，故 an＝ 2 3n － 1＋ ( － 1)nl n ( 2 3n － 1＋ ( － 1)n( l n 2 － l n 3) ＋ ( － 1)nn l n 3 ， 所以 S2 n＝ b1＋ b2＋ ? ＋ b2 n＝ 2 ( 1 ＋ 3 ＋ ? ＋ 32 n － 1) ＋ [ － 1 ＋ 1 － 1＋ ? ＋ ( － 1)2 n] ( l n 2 － l n 3) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ ? ＋ ( － 1)2 n2 n ] l n 3 ＝2 1 － 32 n1 － 3＋ n l n 3 ＝ 32 n＋ n l n 3 － 1. 聚焦考向透析 【方法總結(jié)】 ( 1) 分組轉(zhuǎn)化求和的通法 數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的數(shù)列求和． ( 2) 常見(jiàn)類型及方法 ① an＝ kn ＋ b ，利用等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式直接求解； ② an＝ a cn或 an＝????? bn n 為奇數(shù)，cn n 為偶數(shù)，數(shù)列 { bn} ， { cn} 是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求 { an} 的前 n 項(xiàng)和． 聚焦考向透析 2 ． ( 2022 金麗衢十二校第二次聯(lián)考 ) 已知正項(xiàng)數(shù)列 { an} ， { bn} 滿足：a1＝ 3 ， a2＝ 6 ， { bn} 是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù) n ，都有 bn， an，bn ＋ 1成等比數(shù)列． ( 1) 求數(shù)列 { bn} 的通項(xiàng)公式； ( 2) 設(shè) Sn＝1a1＋1a2＋ ? ＋1an，試比較 Sn與 1 的大?。? 【審題視點(diǎn)】 根據(jù)等比中項(xiàng)及等差數(shù)列求 bn. 用裂項(xiàng)法求 Sn. 聚焦考向透析 【解】 ( 1) ∵ 對(duì)任意正整數(shù) n ，都有 bn， an， bn ＋ 1成等比數(shù)列，且 { an} ， { bn} 均為正項(xiàng)數(shù)列， ∴ an＝ bnbn ＋ 1. 由 a1＝ 3 ， a2＝ 6 得????? a1＝ b1b2＝ 3a2＝ b2b3＝ 6，又 { bn} 為等差數(shù)列，即有 b1＋ b3＝ 2 b2，解得 b1＝ 2 ， b2＝3 22， ∴ 數(shù)列 { bn} 是首項(xiàng)為 2 ，公差為22的等差數(shù)列， ∴ 數(shù)列 { bn} 的通項(xiàng)公式為 bn＝2 ? n ＋ 1 ?2( n ∈ N*) ． 聚焦考向透析 ( 2) 由 ( 1) 得對(duì)任意 n ∈ N*， an＝ bnbn ＋ 1＝? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?2. 從而有1an＝2? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝ 2??????1n ＋ 1－1n ＋ 2， ∴ Sn＝ 2????????????12－13＋??????13－14＋ ? ＋??????1n ＋ 1－1n ＋ 2＝ 1 －2n ＋ 2， ∴ Sn＜ 1. 聚焦考向透析 【方法總 結(jié)】 1. 應(yīng)用裂項(xiàng)相消法應(yīng)注意的問(wèn)題 使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 聚焦考向透析 2 ．常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式 ( 1)1n ? n ＋ 1 ?＝1n－1n ＋ 1； ( 2)1n ? n ＋ k ?＝1k??????1n－1n ＋ k； ( 3)1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝12 ??????12 n － 1－12 n ＋ 1； ( 4)1n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝12 ??????1n ? n ＋ 1 ?－1? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?； ( 5)1n ＋ n ＋ k＝1k( n ＋ k － n ) ． 聚焦考向透析 3 ． ( 2022 南昌市二
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