【正文】 應(yīng) 用 2 列的性質(zhì) . 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進(jìn)行考查，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度略有下降 . 四、復(fù)習(xí)建議 1． 對基礎(chǔ)知識要落實到位，主要是等差（比）數(shù)列的定義、通項、前 n 項和 . 2． 注意等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用 . 3． 掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數(shù)列前 n 項和的求和方法 . 4． 注意滲透三種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程的思想 、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想 . 5． 注意數(shù)列知識在實際問題中的應(yīng)用，特別是在利率 ,分期付款等問題中的應(yīng)用 . 6． 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 解：設(shè)公差為 d，則??? ?? ?? 30122 30211 da da或??? ?? ??? 30122 30211 da da或??? ??? ?? 30122 30211 da da或??? ??? ??? 30122 30211 da da 解得：??? ??0301da? a33 = 30 與已知矛盾 或????? ???21311da ? a33 = 15 與已知矛盾 3 或????? ???21311da ?a33 = 15 或??? ???0301da ? a33 = 30 與已知矛盾 ∴ an = 31+(n 1) (21?) ? 31 ???21n0 ? n≥ 63 ∴滿足條件的最小自然數(shù)為 63。 解：（ 1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，由已知 S4=44,S7=35可得 a1=17,d=4 ∴ an =4n+21 (n∈ N),Sn =2n2 +19 (n∈ N). （ 2）由 an =4n+21≥ 0 得 n≤421, 故當(dāng) n≤ 5時， an ≥ 0, 當(dāng) n≥ 6時， 0?na 當(dāng) n≤ 5時 ,Tn =Sn =2n2 +19n 當(dāng) n≥ 6時 ,Tn =2S5Sn =2n2 19n+90. 【例 4】 已知等差數(shù)列 ??an 的第 2 項是 8，前 10 項和是 185，從數(shù)列 ??na 中依次取出第 2項，第4 項，第 8 項，??，第 2n 項，依次排列一個新數(shù)列 ??nb ，求數(shù)列 ??nb 的通項公式 bn 及前 n 項和公式 Sn 。 623212 2232 1121 ???? ??????? ?? nnnn nnbbbS 解：①由條件， ? ? 2 12122121 ???????????? nn nnnnnnna n ?? ∴ 221 ??? nan； ∴ ? ?1212 12 21 ???????? nnnaa nn 故 ??an 為等差數(shù)列，公差 21?d 4 ②? ?? ? ? ?? ?21 44 21 12 22 1 1 ????????? nnnnnnb n 求該數(shù)列的前 n 項和 Sn； 解： (1)記數(shù)列 1， 1， 2??為 {An}，其中等比數(shù)列為 {an}，公比為 q； 等差數(shù)列為 {bn}，公差為 d，則 An =an +bn (n∈ N） 依題意， b1 =0，∴ A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A2 =a2 +b2 =a1 q+b1 +d=1 ② A3 =a3 +b3 =a1 q2 +b1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=1, q=2, ∴ nba nnn ??? ? 1,2 1 ∴ 2)1(12)]1()21()11[()221( 1212121nnnbbbaaaAAASnnnnnn???????????????????????????? …………… 【例 7】 已知數(shù)列 ??na 滿足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通項 an,并加以證明。 當(dāng) n=1 時 ,a1=1 2121? ,(1)式成立 假設(shè) ,當(dāng) n=k 時 ,(1)式成立 ,即 ak=1k21成立， 5 則當(dāng) n=k+1 時 ,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 ?2ak+1=k+1Sk 又 ak=k+Sk ?2ak+1=1+ak ?ak+1=12 11)2111(21)1(21 ??????? kkka 即當(dāng) n=k+1 時 ,猜想（ 1）也成立。 解法 2：由 an+Sn=n 得 111 ??? ?? nSa nn ，兩式相減得： 111 ???? ?? nnnn SSaa ， 即 121 1 ?? ?nn aa，即 ? ?1211 1 ??? ?nn aa，下略 【例 8】 設(shè)數(shù)列 ??na 是首項為 1 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 是首項為 1 的等比數(shù)列，又 5479261)( 432 ?????? cccNnbac nnn ，且。 解： (1)設(shè)數(shù)列 ? ? ? ?nn bda ，的公差為 的公比為 q 11 )1(1)1( ????????? nnn qbdndnaa ， )(])1(1[ 1 Nnqdnbac nnnn ??????? ? 由條件得????????????????????????????????547313421922161132qdqdqdqd )()34()1(21)34()]1(211[ 11 Nnnnc nnn ????????? ?? ])34()34()34[()]1()12()11[(21 10 ???????????? nn nS ?? )(33 4)3(411341)34(]2 )1([21 1 Nnnnnnn nnn??????????? ? (2) 050)34(270)34(3 5645 ???????? ncc ，猜想?， 證明：①當(dāng) n=5， c50 命題成立 6 ②假設(shè)當(dāng) 0)34()1(210)5( 1 ?????? ?kk kckkn ，即時， 03421])34(3121[])34()1(21[)34()2(21 54111 ??????????? ??? kkkk kkc 當(dāng) 01 1 ??? ?kckn 時 也成立 由① ，②對一切 n? 5，都有 0。 (1)若 ??na的公差等于首項 a1，證明對于任意自然數(shù) n 都有dabS nnn 4 3??； (2)若 ??an 中滿足 3 8 05 12a a? ? ，試問 n 多大時， Sn取得 最大值？證明你的結(jié)論。 (1)求數(shù)列 ??na 的通項 an； (2)若對 4 nn aaNn ??? ?1時，恒有 ，試求 b 的取值范圍。 (1)證明 ??bn 是等差數(shù)列； (2)若n nn abbbaa ????? ?? ?，求 2112 lim33 的值。若從中抽去一項，余下 10 項的算術(shù)平均值為 4，則抽去的是（ D ） A． 8a B． 9a C． 10a D． 11a 二、填空題 1．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項和的公式為 132 2 ??? nnS n ，則通項公式為 。 3 三、解答題 1． ,l o g}{),(2}{ 2 nnnnnn abbRPPSna ??? 滿足數(shù)列∈項和的前數(shù)列 .}{ 是等比數(shù)列若 na （ 1） 。2)1(lim 2211 n nnn n bababa 則 …設(shè) ,2)1(2)2(232221 , 1232 2211 ?? ???????? ???? nnn nnn nnQ bababaQ 10 ②…… .12)1( 22)2(lim2)1(lim 2211 ?? ???? ??? ???? nnnn nnn nnn bababa 試比較 a a an nn? ? ?2 12 與 的大小，證明你的結(jié)論。 (2)當(dāng) n?9且 n 是自然數(shù)時，試比較 an 與 2的大小， 并說明理由。自然數(shù)綜上所述，對一切 29 ?? nan 12 4． 已知 )(131211 NnnS n ?????? ?， 112)( ?? ?? nn SSnf ⑴比較 )1( ?nf 與 )(nf 的大小。 解：（ 1） ∵ f(n+1)f(n)=S2n+3Sn+2(S2n+1Sn+1)=? =2132 122 1 ????? nnn 2142 142 1 ????? nnn=0， ∴ f(n+1)f(n)。 5．某人年初向建設(shè)銀行貸款 10 萬元用于 買房。 y 其中 = (1 + )10 = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 + ? ? y ? ? ? ?10 1 4802 0 040 4802 123305 . ..(元 ) 答 : 若向建設(shè)銀行貸款 , 每年需還 12245 元 。 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (1) 【例 1】 已知無窮數(shù)列 {an},Sn 是其前 n項和 ,對不小于 2的正整數(shù) n,滿足關(guān)系 nnn aaS ??? ?11 。 （ 3）設(shè)???? ?????? ?? ,lo g 2lo g 1 122322 nnnn aaab計算 )(lim21 nn bbb ????? ? 解：（ 1） S2=21,)(1, 1212121 ??????? aaaaaaa 81,)(141,)(1,3434321432142323213213??????????????????????aaaaaaaaaaaSaaaaaaaaaS （ 2）猜想 a )(21 Nnnn ?? （ 1） 當(dāng) n=1 時，命題成立 （ 2） 假設(shè) n=k（ k≥ 1）時命題成立 ,即kka 21? kkkkkkkkkaSaaaSaaS???????????????1)(111111? (*) 同理有 1Sk+1=ak+1 (**) 由 (*)式和假設(shè)kkkk Sa 21121 ??? 得 由（ **）式，得， 1=（ Sk+ak+1） 故 ak+1=121)1(21 ??? kkS ∴當(dāng) n=k+1 時，命題也成立。 （ 2）求nn nnn a233lim2????。 解：（ 1）由 12,1 211 ??? ?nn aaa 得數(shù)列前五項 ①由此猜想，123115731 54321???????nnaaaaaa 等式①成立時，）當(dāng)證（ 1121i 1 ???? an (ii)假設(shè) kn? 時等式①成立，即 ? ?Nka kk ??? 12 當(dāng) 1??kn 時 ? ? 12112212 121 ??????? ?? kkkk aa 即等式①對 1??kn 也成立 由（ i）（ ii）可知等式①對 n N? 都成立 15 （ 2） 132131321lim23 123lim233lim22???????????????????????? ??????????? nnnnnnnnnnnnna （ 3）1212 273 231 1 12????????? ? nnnnS ? ? ?11221212222372131122????????? ???????????nnnnn? 【例 3】 已知 a0， a≠ 1，數(shù)列 {an}是首項為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令 bn=anlgan （ n∈ N） 。 （ 1）求證 {bn}是等比數(shù)列，并寫出它的通項公式 （ 2）求nn a??lim 解：⑴證法一：當(dāng) n=1 時，211,1 111111 ???????? baaasa。 ? ? kkkkkk aSkSkaa ????????? ?? 1)1()(21 11? ∴ 1211 ??? kka 又 ? ? 1,1 1111 ??????? ???? kSaakSa kkkkk 即 .1212112121)()1()1(211111時命題成立即 ??????????????????????????knaabaaakkSkakkkkkkkkkkK 由 (1)(2)知對 Nn? 猜想nnb 21?成立 21,21}{1 ??? qbb n 是以的等比數(shù)列，nnb 21? ⑵ 11232211 )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnn