名校使用20xx高考文復習資料：5-4數列求和(編輯修改稿)
2025-02-09 16:24 本頁面
【文章內容簡介】 2) 常見類型及方法 ① an＝ kn ＋ b ，利用等差數列前 n 項和公式直接求解； ② an＝ a qn － 1，利用等比數列前 n 項和公式直接求解； ③ an＝ bn177。 cn或 an＝????? bn n 為奇數，cn n 為偶數，數列 { bn} ， { cn} 是等比數列或等差數列，采用分組求和法求 { an} 的前 n 項和． 聚焦考向透析 2 ． ( 2022 包頭模擬 ) 已知數列 { xn} 的首項 x1＝ 3 ，通項 xn＝ 2np ＋nq ( n ∈ N*， p ， q 為常數 ) ，且 x1， x4， x5成等差數列．求： ( 1) p ， q 的值； ( 2 ) 數列 { xn} 前 n 項和 Sn的公式． 解： ( 1) 由 x1＝ 3 ，得 2 p ＋ q ＝ 3 ，又因為 x4＝ 24p ＋ 4 q ， x5＝ 25p ＋5 q ，且 x1＋ x5＝ 2 x4，得 3 ＋ 25p ＋ 5 q ＝ 25p ＋ 8 q ，解得 p ＝ 1 ， q ＝ 1. ( 2) 由 ( 1) ，知 xn＝ 2n＋ n ，所以 Sn＝ (2 ＋ 22＋ ? ＋ 2n) ＋ (1 ＋ 2 ＋ ?＋ n ) ＝ 2n ＋ 1－ 2 ＋n ? n ＋ 1 ?2. 聚焦考向透析 考向三 裂項相消法求和 ( 2022 金麗衢十二校第二次聯考 ) 已知正項數列 { an} ， { bn} 滿足：a1＝ 3 ， a2＝ 6 ， { bn} 是等差數列，且對任意正整數 n ，都有 bn， an，bn ＋ 1成等比數列． ( 1) 求數列 { bn} 的通項公式； ( 2) 設 Sn＝1a1＋1a2＋ ? ＋1an，試比較 Sn與 1 的大?。? 【審題視點】 根據等比中項及等差數列求 bn. 用裂項法求 Sn. 聚焦考向透析 【解】 ( 1) ∵ 對任意正整數 n ，都有 bn， an， bn ＋ 1成等比數列，且 { an} ， { bn} 均為正項數列， ∴ an＝ bnbn ＋ 1. 由 a1＝ 3 ， a2＝ 6 得????? a1＝ b1b2＝ 3a2＝ b2b3＝ 6，又 { bn} 為等差數列，即有 b1＋ b3＝ 2 b2，解得 b1＝ 2 ， b2＝3 22， ∴ 數列 { bn} 是首項為 2 ，公差為22的等差數列， ∴ 數列 { bn} 的通項公式為 bn＝2 ? n ＋ 1 ?2( n ∈ N*) ． 聚焦考向透析 ( 2) 由 ( 1) 得對任意 n ∈ N*， an＝ bnbn ＋ 1＝? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?2. 從而有1an＝2? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝ 2??????1n ＋ 1－1n ＋ 2， ∴ Sn＝ 2????????????12－13＋??????13－14＋ ? ＋??????1n ＋ 1－1n ＋ 2＝ 1 －2n ＋ 2， ∴ Sn＜ 1. 聚焦考向透析 【方法總 結】 1. 應用裂項相消法應注意的問題 使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的． 聚焦考向透析 2 ．常見的拆項公式 ( 1)1n ? n ＋ 1 ?＝1n－1n ＋ 1； ( 2)1n ? n ＋ k ?＝1k??????1n－1n ＋ k； ( 3)1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝12 ??????12 n － 1－12 n ＋ 1； ( 4)1n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝12 ??????1n ? n ＋ 1 ?－1? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?； ( 5)1n ＋ n ＋ k＝1k( n ＋ k － n ) ． 聚焦考向透析 3 ． ( 2022 黑龍江哈爾濱三模 ) 已知數列 { an} 的各項均為正數，前 n項和為 Sn，且 Sn＝an? an＋ 1 ?2， n ∈ N*. ( 1) 求證：數列 { an} 是等差數列； ( 2) 設 bn＝12 Sn， Tn＝ b1＋ b2＋ ? ＋ bn，求 Tn.
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