【正文】 ③若數(shù)列 ??na 是等 比 數(shù)列， nS 是其前 n 項的和， *Nk? ，那么 kS ， kk SS ?2 ， kk SS 23 ?成等 比 數(shù)列。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項：對于數(shù) 列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。 qn－ 1； （ 3）對于 G 是 a、 b 的等差 中項，則 G2＝ ab， G＝177。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 第 22 頁 共 23 頁 解析： (Ⅰ )依題意可知 ：???????????????????323581191 12121qaqaqa， (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 , 1323?????????nna， 所以數(shù)列 )2(T 的的首項為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad ， 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10 項之和為 155。 題型 6：等差、等比綜合問題 例 11．（ 20xx 年廣東卷） 已知公比為 )10( ??qq 的無窮等比數(shù)列 }{na 各項的和為 9，無窮等比數(shù)列 }{2na 各項的和為581。n 可見，當(dāng) n=3lg3lg272lg2 ? 時， Sn 最大 ， 而 3lg272lg2? ????? =5,故 {lgan}的前 5 項和最大 ， 解法二新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 接前，???????311081qa ,于是 lgan=lg［ 108(31)n－ 1］ =lg108+(n－ 1)lg31， ∴ 數(shù)列 {lgan}是以 lg108 為首項，以 lg31為公差的等差數(shù)列， 令 lgan≥0， 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥0， ∴ n≤ 3lg42lg2 ?????=， 由于 n∈ N*,可見數(shù)列 {lgan}的前 5 項和最大 。lgq=n(2lg2+lg3)－21n(n－ 1)lg3 =(－23lg) （ 3） 解法一新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 設(shè)公比為 q,項數(shù)為 2m,m∈ N*， 依題意有 ：???????????????)(9)()(1)1(1)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqa mm ， 第 21 頁 共 23 頁 化簡得????????????????10831 ),1(9114121 aqqqaqq解得， 設(shè)數(shù)列 {lgan}前 n 項和為 Sn， 則 Sn=lga1+lga1q2+…+lg a1qn－ 1=lga1n （ 2）解法 1：設(shè)插入的 n 個數(shù)為 nxxx , 21 ? ，且公比為 q， 則 ,2,1,1),1(,11 11 nkqnxnnqqnn kknn ???????? ?? 22 )1(21221 )1(11111 nnnnnnnnn nnqnqnqnqnqnxxxT ???????????? ???? ??? 。 ∴ qn1=81－ 54=27 ∴ q=1 8127nhqq ? ?=3。 ∴ a1=q－ 1＞ 0 即 q＞ 1,從而等比數(shù)列｛ an｝為遞增數(shù)列，故前 n 項中數(shù)值最大的項為第 n 項 。 第 20 頁 共 23 頁 ∵ S2n≠2Sn ， ∴ q≠1； 從而 ? ?1 11naqq??=80， 且 21(1 )1naqq??=6560。 （ 2） 在n1和 1?n 之間插入 n 個正數(shù)，使這 2?n 個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n 個數(shù)之積。 點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。 解析：（ 1）答案： C；解：設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q(q0)，由題意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q6=0，求得 q=2(q=－ 3 舍去 )，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4 ,8421??故選 C。 所以 Sn＝??????????.,1)1(21,),1(21為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)nnnnnn 點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前 n 項和等基礎(chǔ)知識，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。（ ak－ 2＋ 2）， 因?yàn)?ak＝ ak－ 2＋ 2≠ 0，所以 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2， 也就是說，當(dāng) n＝ k＋ 1 時，等式 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2 成立； 根據(jù)①和②，對于所有 n≥ 3，有 an+1=an－ 1+2。 2k 23231 ??? kBk且 Ak＞ Bk ∴ Ak＋ 1＞ 2 178。 2 ＝ An Bn＝ 23 179。 qn＋ 1＝ 2 得 qn＋ 1＝ 2， 第 18 頁 共 23 頁 An＝ q178。 1178。 1178。 q2 A3＝ 1178。 q178。 則 A1＝ a1＝ 1178。 解析：（ 1）∵｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， ∴ a2＋ a4＝ 2a3， b2b4＝ b32． 已知 a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3， ∴ b3＝ 2a3， a3＝ b32． 得 b3＝ 2b32． ∵ b3≠ 0 ∴ b3＝ 21 ， a3＝ 41 ． 由 a1＝ 1， a3＝ 41 知｛ an｝的公差為 d＝ 83? ， ∴ S10＝ 10a1＋ 8552 910 ??? d ． 由 b1＝ 1， b3＝ 21 知｛ bn｝的公比為 q＝ 22 或 q＝ 22? ． 當(dāng) q＝ 22 時， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT， 當(dāng) q＝ 22? 時， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT。 第 17 頁 共 23 頁 例 8．（ 1）（ 20xx 江蘇， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， a1＝ b1＝ 1， a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3．分別求出｛ an｝及｛ bn｝的前 10 項的和 S10及 T10； （ 2）（ 20xx 全國春季北京、安徽， 20）在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) a1， a2， a3??，an，使這 n＋ 2 個數(shù)成等比數(shù)列；又在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) b1， b2， b3，??， bn，使這 n＋ 2 個數(shù)成等差數(shù)列 .記 An＝ a1a2a3?? an， Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋??＋ bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛ An｝和｛ Bn｝的通項； （Ⅱ）當(dāng) n≥ 7 時，比較 An 與 Bn 的大小，并證明你的結(jié)論。 由 S3+S6=2S9，得q qaqqaqqa ???????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 ，整理得 q3（ 2q6－ q3－ 1）=0，由 q≠ 0，得 2q6－ q3－ 1=0，從而（ 2q3＋ 1）（ q3－ 1） =0，因 q3≠ 1，故 q3=－ 21 ，所以 q=－ 243 。 （ 2） D； （ 3）解：若 q=1，則有 S3=3a1， S6=6a1， S9=9a1。 點(diǎn)評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2)， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)， 即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)。 點(diǎn)評： 第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時計算較繁。 題型 3：等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用 例 5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上 4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上 32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列 。 =21 ，所以 rn=31 rn－ 1（ n≥ 2），于是 a1=π r12=91)(,12 2112 ???? nnnn rraal? ，故 {an}成等比數(shù)列。 = l63 。 點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 c3＝（ a1＋ b1）（ a1p2＋ b1q2）＝ a12p2＋ b12q2＋ a1b1（ p2＋ q2）， 由于 p≠ q， p2＋ q2＞ 2pq，又 a b1 不為零， 因此 c22≠ c1178。 c3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛ an｝、｛ bn｝的公比分別為 p、 q， p≠ q， =an+bn。 2n178。 解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋?＋ 1－ p｝是等比數(shù)列， 故有：（ ＋ 1－ p） 2＝（ ＋ 2－ p＋ 1）（ － p－ 1）， 將 ＝ 2n＋ 3n 代入上式，得： ［ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1－ p（ 2n＋ 3n）］ 2＝［ 2n＋ 2＋ 3n＋ 2－ p（ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1）］178。上述三個命題都不是真命題，選擇 A。 由命題 3 得， a1=a－ 1，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=a－ 1，顯然 {an}是一個常數(shù)列，即公差為 0 的等差數(shù)列，因此只有當(dāng) a－ 1≠ 0；即 a≠ 1 時數(shù)列 {an}才又是等比數(shù)列。若 {an}是等比數(shù)列，則12aa =a，即 baaa ??)1( =a，所以只有當(dāng) b=－ 1 且 a≠ 0 時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 例 2．命題 1：若數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn=an+b(a≠ 1)，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列； 命題 2：若數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn=an2+bn+c(a≠ 0)，則數(shù)列 {an}是等差數(shù)列； 命題 3：若數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn=na－ n，則數(shù)列 {an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有（ ） A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 解析： 由命題 1 得， a1=a+b，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=(a－ 1)178。21， an+1an 未必成立，當(dāng)首項 a10 時， an0，則21anan，即an+1an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題 3 中，若 a=b=0， c∈ R，此時有 acb ?2 ，但數(shù)列 a,b,c 不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為 b= ac ，則成為不必要也不充分條件。 四．典例解析 題型 1：等比數(shù)列的概念 例 1．“公差為 0 的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為21的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；