【正文】 。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)4()f t t t??，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？ 五．思維總結(jié) 1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （ 1）已知兩角和一邊（如 A、 B、 C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知兩邊和夾角（如 a、 b、 c），應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角， 然后利用 A+B+C = π，求另一角； （ 3）已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、 b、 A），應(yīng)用正弦定理求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況； （ 4）已知三邊 a、 b、 c，應(yīng)余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C。 （ 2） y＝221211yy＋＝ 222144 s in s ins in 6 6?????〔 （ ＋ ）＋ （ － ）〕＝ 72（ 3＋ cot2?）因?yàn)?233?????， 所以當(dāng) ?＝3?或 ?＝ 23?時， y 取得最大值 ymax＝ 240，當(dāng) ?＝2?時， y 取得最小值 ymin＝ 216。 解析：（ 1）因?yàn)?G 是邊長為 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG＝ 2 3 33 2 3? ＝ ，?MAG＝6?，由正弦定理 G M G Asi n si n66????＝ （ － － ）得 3GM6 si n 6??＝ （ ＋ ），則 S1＝北 20 10 A B ? ?C ?DAB CMN第 26 頁 共 26 頁 12 GM?GA?sin?＝ sin12sin 6? ??（ ＋ ）。 點(diǎn)評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。 ∴ 乙船應(yīng)朝北偏東 71176。 ∵710120sin20sin ??A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。 第 25 頁 共 26 頁 題型 7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 例 13．（ 06 上海理， 18） 如圖，當(dāng)甲船位于A 處時獲悉，在其正東方向相距 20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ，相距 10海里 C 處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援（角度精確到 1? ）？ 解析： 連接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－ 22010COS120176。故選 D。 題型 6：正、余弦定理判斷三角形形狀 例 11．（ 20xx 上海春， 14）在△ ABC 中，若 2cosBsinA＝ sinC，則△ ABC 的形狀一定是（ ） 答案： C 解析： 2sinAcosB＝ sin（ A＋ B）＋ sin（ A－ B）又∵ 2sinAcosB＝ sinC， ∴ sin（ A－ B）＝ 0，∴ A＝ B 點(diǎn)評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA ??? 第 24 頁 共 26 頁 32t a n2t a n32t a n2t a n ??? CACA 。 從而2CA?＝ 60176。 解析：因?yàn)?A、 B、 C 成等差數(shù)列，又 A＋ B＋ C＝ 180176。 評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理?！?bcsinA=b2sinB。 解法二：在△ ABC 中， 由面積公式得21bcsinA=21acsinB。 ∴acbc Bb ?? 60sinsin 2=sin60176。 在△ ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 ??=bcbc2=21，∴∠ A=60176。 解法一：∵ a、 b、 c 成等比數(shù)列，∴ b2=ac。 分析：因給出的是 a、 b、 c 之間的等量關(guān)系，要求∠ A，需找∠ A 與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。 點(diǎn)評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角 和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力。 解析：（ Ⅰ）∵ 1mn?? ∴ ? ? ? ?1, 3 c o s , sin 1AA? ? ?，即 3 si n cos 1AA??， 312 s in c o s 122AA??? ? ? ?????， 1sin 62A ?????????； ∵ 50,6 6 6AA? ? ??? ? ? ? ? ?，∴66A ????，∴3A?。 點(diǎn)評：運(yùn)用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。 解析： 由 A+B+C=π，得 B+C2 =π 2 － A2，所以有 cosB+C2 =sinA2。 點(diǎn)評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。 解析：（ 1）因?yàn)殇J角△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ ?， 22sin 3A? ，所以 cosA＝ 13， 則 22 2 22BCsinB C A A2ta n sin sinBC2 2 2c o s21 c o s B C 1 1 c o s A 1 71 c o s A1 c o s B C 2 1 c o sA 3 3＋＋ ＋ ＝ ＋＋－ （ ＋ ） ＋＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝＋ （ ＋ ） － （ 2）A B C A B C 1 1 2 2S 2 S b c s in A b c2 2 3?因?yàn)?＝ ，又 ＝ ＝，則 bc＝ 3。 由余弦定理知： 22 2 c os21 18 2 1 3 2 132CD B D B C B D B C B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運(yùn)用。故選 D。 題型 3：與三角形邊角相關(guān)的問題 例 5．（ 1） （ 20xx 江蘇 5） △ ABC 中， , 3,3A BC???則△ ABC 的周長為（ ） A． 4 3 si n( ) 33B ??? B． 4 3 si n( ) 36B ??? C． 6sin( ) 33B ??? D． 6sin( ) 36B ??? （ 2）（ 06 年全國 2 文， 17）在 254 5 , 1 0 , c o s5A B C B A C C? ? ? ? ? ?中 ，求（ 1） ?BC? （ 2）若點(diǎn) D AB是 的 中 點(diǎn) ， 求 中 線 CD 的 長 度 。 C=15176。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時 當(dāng) A=105176。 C=60176。 當(dāng) A=60176?！?A=60176。 第 20 頁 共 26 頁 ∵22)c os (22s i ns i n ???? CACA， ∴ )]60(s i n21[22c os2 3s i n21 02 ???? AAA=22， .2 2)60s i n(0)60s i n(,0)]60s i n(21)[60s i n( 0000 ?????????? AAAA 或 又∵ 0176。 C=120176。且 2B=A+C，∴ B=60176。（ 1）求 A、 B． C的大?。唬?2）求Δ ABC的的面積。 點(diǎn)評：本小題主要考查三角恒 等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。 從而 s in 2 6 4ta n 2 3c o s 4 26AA A ?? ? ? ? ? ??。 ? sin c o sA A? ? 22 ① .0c o s,0s i n,180021c o ss i n221)c o s( s i n 2???????????AAAAAAA??? 23c oss i n21)c os(s i n 2 ???? AAAA?, ? ? ?sin c o sA A 62 ② ① + ② 得 sin A ? ?2 64 。 .21)45c o s (,22)45c o s (2c o ss i n??????????AAAA 又 0 180? ?? ?A , 45 60 , 105 .AA? ? ? ? 13ta n ta n ( 4 5 6 0 ) 2 313A ?? ? ? ? ? ? ??, 第 19 頁 共 26 頁 .4 6260s i n45c os60c os45s i n)6045s i n(105s i ns i n ??????? ???????A S AC AB AABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 12 2 3 2 64 34 2 6s i n ( )。 題型 2：三角形面積 例 3． 在 ?ABC 中， sin cosA A? ? 22， AC?2 ， AB?3 ，求 Atan 的值和 ?ABC的面積。 解析：（ 1）根據(jù)三角形內(nèi)角 和定理， 0180 ( )? ? ?C A B 0 0 0180 ( )? ? ? ? ； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 8 1 . 8 8 0 . 1 ( )s in s in 3 2 . 0? ? ?aBb c mA； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 6 6 . 2 7 4 . 1 ( ) .s in s in 3 2 . 0? ? ?aCc c mA （ 2）根據(jù)正弦定理， 0s in 2 8 s in 4 0s in 0 . 8 9 9 9 .20? ? ?bAB a 因?yàn)?0 ＜ B ＜ 0180 ，所以 064?B ，或 0116.?B ①當(dāng) 064?B 時， 0 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 40 64 ) 76? ? ? ? ? ? ?C A B ， 00s in 2 0 s in 7 6 3 0 ( ) .s in s in 4 0? ? ?aCc c mA ②當(dāng) 0116?B 時， 0 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 40 116 ) 24? ? ? ? ? ? ?C A B ， 00s in 2 0s in 2 4 1 3 ( ) .s in s in 4 0? ? ?aCc c mA 點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時（ 1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（ 2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器。； △ ABC 是正三角形的充分必要條件是∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列且 a， b， c成等比數(shù)列。 r 為三角形內(nèi)切圓半徑， p 為周長之半。 （ 1）角的變換 因?yàn)樵?△ ABC 中， A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－ cosC； tan(A+B)=－ tanC。 （ 1）角與角關(guān)系： A+B+C = π； （ 2）邊與邊關(guān)系： a + b c， b + c a， c + a b， a－ b c， b－ c a， c－ a b； （ 3）邊與角關(guān)系： 正弦定理 RCcBbAa 2s ins ins in ???（ R 為外接圓半徑）； 余弦定理 c2 =