第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列(參考版)
2025-07-02 15:58本頁面
【正文】 歡迎下載。3．等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是， 如：，……；，……；（3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；5．說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則①奇偶； ② ；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則①偶奇；②。當(dāng)d≠0時是n 的一個常數(shù)項為0的二次式。（4）等差數(shù)列的前n 項和公式Sn＝（2）等差數(shù)列的通項為an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），當(dāng)d≠0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點的集合。2．等差數(shù)列的知識要點：（1）等差數(shù)列定義an＋1－an＝d（常數(shù)）（n N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如a3－a2＝a2－a1＝d（常數(shù)）就說｛an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。即an＝。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點構(gòu)成的。由＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0，得n≤，∴n=20。（文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）。于是當(dāng)bn≥1時，Bn≥Bn－1，當(dāng)bn＜1時，Bn＜Bn－1，因此，數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1。（Ⅱ）∵函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10）遞減，∴對每個自然數(shù)n，有bn＞bn＋1＞bn＋2則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn，即（）2＋（－1）＞0，解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1），∴5（－1）＜a＜10．（Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）。（文）設(shè)＝lg（bn）（n∈N）.若a取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛｝前多少項的和最大?試說明理由。例14．（2000上海，21）在XOY平面上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點Pn、點（n，0）與點（n+1，0）構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，∴。評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。（1+）=（2k+2）。（i）當(dāng)n=1時已驗證①式成立。∵，∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為，∴Tn＝n2－n．（2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得解得 ∴bn=2n－1.（Ⅱ）由bn=2n－1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg［（1+1）（1+）…（1+）］，lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小.取n=1，有（1+1）＞，取n=2，有（1+1）（1+）＞，……由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞. ①若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn＞lgbn+1。（2）（1998全國文，25）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項bn；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an=lg（1+），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。a3＝12，a1＋a3＝8，把a1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.（3）答案為A；點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問
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