第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列(已改無錯(cuò)字)
2022-07-27 15:58:49 本頁面
【正文】 通項(xiàng)bn；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=lg（1+），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）?！撸鄶?shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為，∴Tn＝n2－n．（2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得解得 ∴bn=2n－1.（Ⅱ）由bn=2n－1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg［（1+1）（1+）…（1+）］，lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小.取n=1，有（1+1）＞，取n=2，有（1+1）（1+）＞，……由此推測(cè)（1+1）（1+）…（1+）＞. ①若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn＞lgbn+1。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立。（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞（1+）=（2k+2）。∵［（2k+2）］2－（）2＝，∴.因而 這就是說①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（i），（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Sn＞lgbn+1。評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13．（1）（2002上海春，16）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）＜0 ＝0＞S5 （2）（1994全國理，12）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ） 解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+…+a5a1+a2+…+a5+a6，∴a60，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7S8，得a80，而C選項(xiàng)S9S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由題設(shè)a7=0，a80，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，∴。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40?！郻3=b2+d=70+40=110∴前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14．（2000上海，21）在XOY平面上有一點(diǎn)列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點(diǎn)Pn、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。（Ⅰ）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；（Ⅲ）（理）設(shè)Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小
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