第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列-閱讀頁
2025-07-14 15:58本頁面
【正文】 ］2－（）2＝，∴.因而 這就是說①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（i），（ii）知①式對任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Sn＞lgbn+1。題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13．（1）（2002上海春，16）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）＜0 ＝0＞S5 （2）（1994全國理，12）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ） 解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+…+a5a1+a2+…+a5+a6，∴a60，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7S8，得a80，而C選項(xiàng)S9S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由題設(shè)a7=0，a80，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。∴b3=b2+d=70+40=110∴前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。（Ⅰ）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若對每個(gè)自然數(shù)n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；（Ⅲ）（理）設(shè)Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。解析：.解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝2000（）。數(shù)列｛bn｝≥2，Bn＝bnBn－1。由bn＝2000（）≥1，得n≤，∴n=20。于是＝lg［2000（）］＝3＋lg2（n＋）數(shù)列｛｝是一個(gè)遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)≥0，且＋1＜0時(shí)，數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)的和最大。點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.五．思維總結(jié)1．?dāng)?shù)列的知識要點(diǎn)：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。（2）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；③一個(gè)數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛an｝中，前n 項(xiàng)和Sn 與通項(xiàng)公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。特別要注意的是，若a1 適合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表達(dá)式，則an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子。還可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 來判斷。（3）對于A 是a、b 的等差中項(xiàng)，可以表示成2 A＝a＋b。n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。（5）等差數(shù)列的判定方法：①定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；②等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。6．（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時(shí)的值（）可如下
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