第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列-在線瀏覽
2024-08-09 15:58本頁面
【正文】 ：從起始項入手，逐步展開解題思維。例4．（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項并寫出其通項公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項。題型3：數(shù)列的應(yīng)用例5．（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數(shù)，則=____________；當時， （用表示）。點評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140；85.點評：本題以實際問題為背景，、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)學(xué)思維活動。點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=Sn－Sn－，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,…），∵……① ∴……②①－②得：=∵∴……③ 從而有……④④－③得：……⑤∵，∴由⑤得：（n=1,2,3,…），由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,…），則（常數(shù)）故……⑥從而……⑦⑦－⑥得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,…），∴數(shù)列為等差數(shù)列。證法二：令A(yù)n = a n+1 a n，由b n≤b n+1知a n a n+2≤a n+1 a n+3。于是由⑥得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,…)，所以數(shù)列{a n}是等差數(shù)列。題型5：等差數(shù)列通項公式例9．（2006年全國卷I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A． B． C． D．解析：，將代入，得，從而。點評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。由即d=1。題型6：等差數(shù)列的前n項和公式例11．（1）（2002京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ） （2）（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） （3）（2006年全國卷II）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若＝，則＝（ ）A． B． C． D．解析：（1）答案：A設(shè)這個數(shù)列有n項∵ ∴∴n＝13（2）答案：B前三項和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4a1a3＝48，∵a2＝4，∴a1例12．（1）（2000全國文，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項和，求Tn。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。（ii）假設(shè)當n=k（k≥1）時，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞.那么，當n=k+1時，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞∵［（2k+2）
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