【正文】 3． 等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果 na 是等 比 數(shù)列的第 n 項(xiàng)， ma 是等差數(shù)列的第 m項(xiàng)，且 nm? ，公 比 為 q ，則有 mnmn qaa ?? ； ②對(duì)于 等比 數(shù)列 ??na ，若 vumn ??? ，則 vumn aaaa ??? ， 也就 是 ：???????? ?? 23121 nnn aaaaaa ，如圖所示： ???? ????? ?? ??? ???? ?? ?nnaanaann aaaaaa?????112, 12321 。 an＋ 2＝ 21?na 來(lái)判斷； （ 2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an＝ a1178。 (Ⅰ )求數(shù)列 }{na 的首項(xiàng) 1a 和公比 q ； (Ⅱ )對(duì)給定的 ),3,2,1( nkk ???? ， 設(shè) )(kT 是首項(xiàng)為 ka ，公差為 12 ?ka 的等差數(shù)列．求數(shù)列 )(kT 的前 10 項(xiàng)之和 。n2+(2lg2+27lg3) 解法 2：設(shè)插入的 n 個(gè)數(shù)為 nxxx , 21 ? ， 1,110 ??? ? nxnx n nnxxxxxx nnn 112110 ???????? ?? ? nn xxxT ???? ?21 nnnnn nnxxxxxxT )1()()()( 11212 ?????? ? ? 2)1( nn nnT ??? 。 ∴ a1qn1=54,從而 (q－ 1)qn1=qnqn1=54。 （ 3）設(shè)等比數(shù)列 {an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的 4 倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)和的 9 倍，問(wèn)數(shù)列 {lgan}的前多少項(xiàng)和最大？ (lg2=0新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 3,lg3=) 解析 ： （ 1） 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 依題意設(shè)： a1＞ 0， Sn=80 ， S2n=6560。 （ 2）答案： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）； 解：在等差數(shù)列｛ an｝中，由 a10＝ 0，得 a1＋ a19＝ a2＋ a18＝?＝ an＋ a20－ n＝ an＋ 1＋ a19－ n＝ 2a10＝ 0， 所 以 a1＋ a2＋?＋ an＋?＋ a19＝ 0，即 a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1， 又∵ a1＝－ a19， a2＝－ a18，?， a19－ n＝－ an＋ 1 ∴ a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1＝ a1＋ a2＋?＋ a19－ n， 若 a9＝ 0，同理可得 a1＋ a2＋?＋ an＝ a1＋ a2＋ a17－ n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛ bn｝中，則可得： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）。 第 19 頁(yè) 共 23 頁(yè) （Ⅲ）解：由 a2k－ 1＝ a2（ k－ 1）－ 1＋ 2， a1＝ 0，及 a2k＝ a2（ k－ 1） ＋ 2， a2＝ 3 得 a2k－ 1＝ 2（ k－ 1）， a2k＝ 2k＋ 1， k＝ 1， 2， 3，?，即 an＝ n＋（－ 1） n， n＝ 1， 2， 3，?。 7，∴ An＞ Bn 設(shè)當(dāng) n＝ k 時(shí)， An＞ Bn，則當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 2121 2 ?? ? kkA 23231 ??? kBk 又 ∵ Ak+1＝ 2 178。 q3 又∵ an＋ 2＝ 1178。 q178。 q A2＝ 1178。 （ 3）（ 20xx 天津理 ， 22）已知｛ an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足 a1＝ 0， a2＝ 3， an＋ 1an＝（ an－ 1＋ 2）（ an－ 2＋ 2）， n＝ 3， 4， 5，?． （Ⅰ）求 a3； （Ⅱ）證明 an＝ an－ 2＋ 2， n＝ 3， 4， 5，?； （Ⅲ）求｛ an｝的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和 Sn。 因 a1≠ 0， 得 S3+S6≠ 2S9，顯然 q=1 與題設(shè)矛盾，故 q≠ 1。 當(dāng) a1=3 時(shí) ， a3=13， a15=73， a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3； 當(dāng) a1=2 時(shí) ,， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n－ 3。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為 a， aq， aq2； 則 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32)； 解得 a=2， q=3 或 a=92， q=－ 5； 故所求的等比數(shù)列為 2， 6,18 或92，－910，950。nnnn rr rr ????11 =sin30176。 c3，故｛ ｝不是等比數(shù)列。 為證｛ ｝不是等比數(shù)列只需證 c22≠ c1178。 ［ 2n＋ 3n－ p（ 2n－ 1＋3n－ 1）］， 即［（ 2－ p） 2n＋（ 3－ p） 3n］ 2 ＝［（ 2－ p） 2n＋ 1＋（ 3－ p） 3n＋ 1］［（ 2－ p） 2n－ 1＋（ 3－ p） 3n－ 1］， 第 15 頁(yè) 共 23 頁(yè) 整理得 61 （ 2－ p）（ 3－ p）178。 點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系， 上述三個(gè)命題均涉及到 Sn 與 an的關(guān)系，它們是 an=??? ?? ,11nn SSa 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 21??nn ，正確判斷數(shù)列 {an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。 an－ 1。 命題 1 中未考慮各項(xiàng)都為 0 的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 第 14 頁(yè) 共 23 頁(yè) 命題 2 中可知 an+1=an179。 3．等比中項(xiàng) 如果在 ba與 中間插入一個(gè)數(shù) G ，使 bGa , 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 ba與 的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 預(yù)測(cè) 07 年高考對(duì)本講的考察為： （ 1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的 1~2 道客觀題目； （ 2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)； （ 3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 29） — 等比數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1． 通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念 ； 2． 探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 ； 3． 能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題 。 點(diǎn)評(píng) ：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。 （ Ⅱ ）方法 1 由（ 1）得，（ 5n8） Sn+1(5n+2)Sn=20n8, ① 所以 (5n3)Sn+2(5n+7)Sn+1=20n28, ② ② ① ,得 , (5n3)Sn+2(10n1)Sn+1+(5n+2)Sn=20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=20.④ ④ ③ ,得 (5n+2)Sn+3(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1(5n+2)Sn=0. 因?yàn)? an+1=Sn+1Sn 所以 (5n+2)an+3(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因?yàn)? (5n+2) 0? , 所以 an+32an+2+an+1=0, 即 an+3an+2=an+2an+1, 1?n . 又 a3a2=a2a1=5, 第 11 頁(yè) 共 23 頁(yè) 所以數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 （ Ⅰ ）求 A 與 B 的值； （ Ⅱ ）證明數(shù)列 {an}為等差數(shù)列； （ Ⅲ ）證明不等式 51m n m na a a??對(duì)任何正整數(shù) m、 n 都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題，第一問(wèn)由 a a a3 求出 s s s3 代入關(guān)系式，即求出 A、 B；第二問(wèn)利用 )1(1 ??? ? nssa nnn 公式，推導(dǎo)得證數(shù)列 {an}為等差數(shù)列。 解析： （Ⅰ） a1=3， a2=1， a3=2， a4=1， a5=1， a6=0， a7=1， a8=1， a9=0， a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ） 證明：根據(jù)定義，數(shù)列 {an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng) .證明如下： 假設(shè) {an}中沒(méi)有零項(xiàng)，由于 an=|an1an2|，所以對(duì)于任意的 n，都有 an≥ 1,從而 當(dāng) an1 an2 時(shí)， an = an1 － an2 ≤ an1－ 1（ n≥3）； 當(dāng) an1 an2 時(shí)， an = an2 － an1 ≤ an2－ 1（ n≥3） , 即 an 的值要么比 an1 至少小 1，要么比 an2 至少小 1. 令 = 2 1 2 1 22 2 1 2( ),( ),n n nn n na a aa a a?????? ??n=1， 2， 3，??， 第 10 頁(yè) 共 23 頁(yè) 則 0≤ 1－ 1（ n=2， 3， 4??） . 由于 c1 是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) c10 這與 0（ n=1， 2， 3??）矛盾 .從而 {an}必有零項(xiàng)。 又因?yàn)?xk+1=xk(2－ xk)=－ (xk－ 1)2+1≤ 12, 所以 xk+1∈ (0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立 . 由①、②可知，對(duì)于任意的 n∈ N*，都有 xn∈ (0,2)。 （Ⅲ）若 b 的值使得 xn0， n∈ N* 由 xn+1=xn(3－ b－ xn), n∈ N*, 知 0xn3－ b, n∈ N*, 特別地，有 0x13－ b. 即 0b3－ x1。 例 12．（ 20xx 湖南 20）自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響 . 用 xn 表示某魚(yú)群 在第 n 年年初的總量， n∈ N*，且 x1＞ ，設(shè)在第 n 年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與 xn2 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù) a， b， c。 所以對(duì) 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 1 1 2 2 11 2 1 1 1 2[ ( 1 ) ] [ . . . . . 1 ]. . . . .n n n n k n k nn n n nn n k n k nn n n nx x x x C x C x C x C xC x C x C x C x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得 ： 1 1 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 ) .. 2 1