【文章內(nèi)容簡介】 － an1 ≤ an2－ 1（ n≥3） , 即 an 的值要么比 an1 至少小 1，要么比 an2 至少小 1. 令 = 2 1 2 1 22 2 1 2( ),( ),n n nn n na a aa a a?????? ??n=1， 2， 3，??， 第 10 頁 共 23 頁 則 0≤ 1－ 1（ n=2， 3， 4??） . 由于 c1 是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) c10 這與 0（ n=1， 2， 3??）矛盾 .從而 {an}必有零項(xiàng)。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第 n 項(xiàng)，記 an1=A（ A≠ 0） ，則自第 n 項(xiàng)開始 ，沒三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA??????????????… … 所以絕對 等差數(shù)列 {an}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。 點(diǎn)評(píng)：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 例 14． （ 20xx 江蘇 23） 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1＝ 1， a2＝ 6， a3＝ 11，且 1( 5 8 ) ( 5 2) , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ? ，其中 A,B 為常數(shù)。 （ Ⅰ ）求 A 與 B 的值； （ Ⅱ ）證明數(shù)列 {an}為等差數(shù)列； （ Ⅲ ）證明不等式 51m n m na a a??對任何正整數(shù) m、 n 都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題，第一問由 a a a3 求出 s s s3 代入關(guān)系式，即求出 A、 B；第二問利用 )1(1 ??? ? nssa nnn 公式，推導(dǎo)得證數(shù)列 {an}為等差數(shù)列。 解答：（ 1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由 (5n－ 8)Sn+1－ (5n+2)Sn=An+B 知： ??? ????????? ??? ???? .482 .28,2122 ,732312 BA BABASS BASS 即。 解得 A=－ 20， B=－ 8。 （ Ⅱ ）方法 1 由（ 1）得，（ 5n8） Sn+1(5n+2)Sn=20n8, ① 所以 (5n3)Sn+2(5n+7)Sn+1=20n28, ② ② ① ,得 , (5n3)Sn+2(10n1)Sn+1+(5n+2)Sn=20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=20.④ ④ ③ ,得 (5n+2)Sn+3(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1(5n+2)Sn=0. 因?yàn)? an+1=Sn+1Sn 所以 (5n+2)an+3(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因?yàn)? (5n+2) 0? , 所以 an+32an+2+an+1=0, 即 an+3an+2=an+2an+1, 1?n . 又 a3a2=a2a1=5, 第 11 頁 共 23 頁 所以數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 方法 2. 由已知， S1=a1=1, 又 (5n8)Sn+1(5n+2)Sn=20n8,且 5n8 0? , 所以數(shù)列 }{}{ nn a，s 因而數(shù)列是惟一確定的 是惟一確定的。 設(shè) bn=5n4,則數(shù)列 }{nb 為等差數(shù)列，前 n 項(xiàng)和 Tn= ,2 )35( ?nn 于是 (5n8)Tn+1(5n+2)Tn=(5n8) ,8202 )35()25(2 )25)(1( ???????? nnnnnn 由惟一性得 bn=a,即數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， an=1+5(n1)=5n4. 要證了 ,15 ?? nmmn aaa 只要證 5amn 1+aman+2 nmaa 因?yàn)? amn =5mn 4,aman=(5m4)(5n4)=25mn 20(m+n)+16, 故只要證 5（ 5mn 4） 1+25mn 20(m+n)+16+2 ,nmaa 因?yàn)?)291515(8558552 ??????????? nmnmnmaaaa nmnm =20m+20n37, 所以命題得證。 點(diǎn)評(píng) ：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列 ； （ 2） 裂項(xiàng)相消法 ： 適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等 ； （ 3） 錯(cuò)位相減法 ： 適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。 （ 4） 倒序相加法 ： 類似于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 . （ 5） 分組求和法 第 12 頁 共 23 頁 （ 6） 累加（乘）法等 。 2． 常用結(jié)論 （ 1）1nk k? ?? 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn （ 2）1(2 1)nk k? ???1+3+5+...+(2n1) = 2n （ 3） 31nk k? ??2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? （ 4） 21nk k? ?? )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? （ 5）111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn （ 6） )()11(11 qpqppqpq ???? 3．?dāng)?shù)學(xué)思想 （ 1）迭加累加（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若 1 ( ), ( 2 )nna a f n n?? ? ?，則??； （ 2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若1 ( )( 2)nna g n na? ??，則??； （ 3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）； （ 4）錯(cuò)位相減（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 29） — 等比數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1． 通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念 ； 2． 探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 ； 3． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān) 系。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)第 13 頁 共 23 頁 用，對基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。 預(yù)測 07 年高考對本講的考察為： （ 1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的 1~2 道客觀題目； （ 2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)； （ 3）解決問題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 三．要點(diǎn)精講 1． 等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 第二項(xiàng)起 ． ． ． ． ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù) ． ． ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q 表示( 0)q? ，即： 1na? ： ( 0)na q q??數(shù)列對于數(shù)列（ 1）（ 2）（ 3）都是等比數(shù)列，它們 的公比依次是 2， 5，21?。（注意：“從第二項(xiàng)起”、 “常數(shù)” q 、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零） 2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為： )0( 111 ???? ? qaqaa nn 。 說明：（ 1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比 1d? 時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（ 2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若 {}na 為等比數(shù)列，則 mnmna qa ?? 。 3．等比中項(xiàng) 如果在 ba與 中間插入一個(gè)數(shù) G ，使 bGa , 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 ba與 的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 4． 等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列 1 2 3, , , , ,na a a a 的前 n 項(xiàng)和是 ?nS 1 2 3 na a a a? ? ? ?，當(dāng) 1?q 時(shí)，qqaSnn ??? 1 )1(1 或 11 nn a a qS q?? ?；當(dāng) q=1 時(shí)， 1naSn ? （錯(cuò)位相減法）。 說明：（ 1） nSnqa ,1 和 nn Sqaa ,1 各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（ 2）注意求和公式中是 nq ，通項(xiàng)公式中是 1?nq 不要混淆；（ 3）應(yīng)用求和公式時(shí) 1?q ，必要時(shí)應(yīng)討論 1?q 的情況。 四．典例解析 題型 1：等比數(shù)列的概念 例 1．“公差為 0 的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為21的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“ a,b,c 三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2=ac”；“ a,b,c 三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。 命題 1 中未考慮各項(xiàng)都為 0 的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 第 14 頁 共 23 頁 命題 2 中可知 an+1=an179。21， an+1an 未必成立，當(dāng)首項(xiàng) a10 時(shí)， an0，則21anan，即an+1an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題 3 中，若 a=b=0， c∈ R，此時(shí)有 acb ?2 ，但數(shù)列 a,b,c 不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為 b= ac ，則成為不必要也不充分條件。 點(diǎn)評(píng)：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例 2．命題 1：若數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=an+b(a≠ 1)，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列； 命題 2：若數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=an2+bn+c(a≠ 0)，則數(shù)列 {an}是等差數(shù)列； 命題 3：若數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=na－ n，則數(shù)列 {an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ） A． 0 個(gè) B． 1 個(gè) C． 2 個(gè) D． 3 個(gè) 解析： 由命題 1 得， a1=a+b，當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an=Sn－ Sn－ 1=(a－ 1)178。 an－ 1。若