【導讀】以及平行、垂直、夾角、距離等問題.一向量或相等的向量.空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，a,b的_____，其范圍為________.a、b、c不共面，則下列集合可作。ABCD-A′B′C′D′中，向。+6b-8c，對角線AC、BD的中點分別為。又，兩式相加，得。六個面都是平行四邊形，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，為=a，=b，AA1=c，試用a，b，的方向性及加減運算.

　　

【正文】 1 , 0 ) ． 于是 MN→＝ (12， 0 ，12) ， DA1＝ ( 1 , 0 , 1 ) ， DB→＝ ( 1 , 1 , 0 ) ． 設平面 A1BD 的法向量是 n ＝ ( x ， y ， z ) ． 52 則 n DA1→＝ 0 ，且 n DB→＝ 0 ，可得????? x ＋ z ＝ 0x ＋ y ＝ 0. 取 x ＝ 1 ，得 y ＝－ 1 ， z ＝－ 1 ， 所以 n ＝ ( 1 ，－ 1 ，－ 1 ) ． 又 MN→ n ＝ (12， 0 ，12) ( 1 ，－ 1 ，－ 1 ) ＝ 0 ， 所以 MN→⊥ n . 53 則 n DA1→＝ 0 ，且 n DB→＝ 0 ，可得????? x ＋ z ＝ 0x ＋ y ＝ 0. 取 x ＝ 1 ，得 y ＝－ 1 ， z ＝－ 1 ， 所以 n ＝ ( 1 ，－ 1 ，－ 1 ) ． 又 MN→ n ＝ (12， 0 ，12) ( 1 ，－ 1 ，－ 1 ) ＝ 0 ， 所以 MN→⊥ n . 又因為 MN ? 平面 A1BD ， 所以 MN ∥ A1BD . 54 方法 2 ：因為 MN→＝ C1N→－ C1M→ ＝12C1B1→－12C1C→ ＝12( D1A1→－ D1D→) ＝12DA1→. 所以 MN→∥ DA1→， 又因為 MN ? 平面 A1BD ，所以 MN ∥ 平面 A1BD . 55 ? 3. 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1D1中， ∠ A CB =90176。， AC=1， CB=2，側棱 AA1=1，側面 AA1B1B的兩條對角線的交點為 D， ? B1C1的中點為 M. ? 求證： CD⊥ 平面 BDM. ? 證明： 如圖建立直角坐標系， ? 則 B( ， 0， 0)， B1( ， 1， 0)， ? A1(0， 1， 1)， D( ， ， )， ? M( ， 1， 0). 題型 3 垂直問題的判定與證明 2 22212122256 ? 所以 =( ， ， )， =( ， 1， 1)， ? =(0， ， ). ? 于是有 ? ? 所以 CD⊥ A1B，且 CD⊥ DM. ? 因為 A1B和 DM為平面 BDM內(nèi)兩條相交直線， ? 所以 CD⊥ 平面 BDM. 1212022C D A B? ? ? ? ?2212CD 12 1AB 2DM 1212210 4 024CD D M? ? ? ? ? ?57 ? 點評： 利用空間向量的坐標運算證空間兩直線垂直問題的一般步驟是：先建立空間直角坐標系 ， 然后寫出 (或求出 )關鍵點的坐標 ， 再計算出直線所對應向量的坐標 ， 最后計算其數(shù)量積 ， 并判斷是否為零 . 58 ? 如圖所示，已知在矩形 ABCD中， ? AB=1， BC=a(a0)， PA⊥ 平面 ABCD， ? 且 PA=1. ? (1)試建立適當?shù)淖鴺讼担? ? 并寫出點 P、 B、 D的坐標； ? (2)問當實數(shù) a在什么范圍 ? 時， BC邊上能存在點 Q， ? 使得 PQ⊥ QD？ 59 ? 解： (1)以 A為坐標原點， AB、 AD、 AP ? 所在直線分別為 x、 y、 z軸建立坐標系， ? 如圖所示 . ? 因為 PA=AB=1， BC=a， ? 所以 P(0， 0， 1)， B(1， 0， ? 0)， D(0， a， 0). ? (2)設點 Q(1， x， 0)， ? 則 =(1,xa,0), =(1,x,1). DQ QP60 ? 由 =0，得 x2ax+1=0. ? 顯然當該方程有實數(shù)解時， ? BC邊上才存在點 Q， ? 使得 PQ⊥ QD，故 Δ=a24 ≥ 0. ? 因為 a0，故 a的取值范圍為［ 2,+∞). D Q Q P61 ? 1. 在給定的空間直角坐標系中，對任一向量 a，據(jù)空間向量基本定理知， a的坐標是唯一存在的 . ? 2. 在空間直角坐標系 Oxyz中，對空間任一點 P，過點 P作 yOz平面的平行平面，交x軸于點 A，則點 P的橫坐標 ，且當 ? 與 i方向相同時， x＞ 0。反之， x＜ 確定點 P的縱坐標 y和豎坐標 z. OA| x | | O A |?62 ? 3. 在空間直角坐標系中 ， 求點的坐標主要有三種方法：一是幾何法 ， 即通過點P到三個坐標平面的距離來確定點 P的坐標；二是待定系數(shù)法 ， 即首先設出點 P的坐標 ， 再結合條件建立方程組求待定系數(shù)的值 ， 進而得到點 P的坐標；三是向量運算法 ， 即把求點 P的坐標轉(zhuǎn)化為求向量 的坐標 . OP63 ? 4. 若點 P在直線 AB上，設 (λ ≠1)，A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， ? 則利用待定系數(shù)法可得點 P的坐標為( ， ， )，這就是空間有向線段定比分點公式，可用來求點的坐標 . AP λ PB?121x λxλ??121y λyλ??121z λzλ??64 ? 5. 在空間圖形中 ， 若有三條兩兩互相垂直的直線 ， 或有一條直線垂直于一個平面 ，則可考慮利用空間向量的坐標運算來解題 ，因為這種背景圖形便于建立空間直角坐標系 .判斷線線平行或諸點共線 ， 轉(zhuǎn)化為證a∥ b (b≠0) a=λb；證明線線垂直 ， 轉(zhuǎn)化為證 a⊥ b ab= a=(a1， a2， a3)，b=(b1 ， b2 ， b3) ， 則 轉(zhuǎn) 化 為 計 算a1b1+a2b2+a3b3=0. ?