20xx屆二輪復(fù)習(xí)----提升篇專題五解析幾何-圓錐曲線的方程與性質(zhì)-學(xué)案(全國通用)-資料下載頁
2025-04-03 02:57本頁面
【正文】 0)的短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1M∥F2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k1＋2k2的值.解：(1)由題意，得2b＝4，＝.又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2，c＝1.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(－1，0).據(jù)題意，直線F1M的方程為y＝2(x＋1).記直線F1M與橢圓C的另一個交點(diǎn)為M′.設(shè)M(x1，y1)(y10)，M′(x2，y2).∵F1M∥F2N，∴根據(jù)對稱性，得N(－x2，－y2).聯(lián)立得消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由題意知x1x2，∴x1＝－，x2＝－，k1＝＝＝，k2＝＝＝－，∴3k1＋2k2＝3＋2＝0，即3k1＋2k2的值為0.B組——大題專攻強(qiáng)化練，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個頂點(diǎn)是拋物線x2＝－4y的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo).解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，由題意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)因?yàn)檫^點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0).由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得2k＋1＝0，解得k＝－.所以直線l的方程為y＝－(x－2)＋1＝－x＋＝－代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為.，長為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上滑動，＝.記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(0，1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時，求直線l的方程.解：(1)設(shè)C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，所以得由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲線E的方程為x2＋＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2).易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2.此時直線l的方程為y＝177。x＋1.：＋＝1(ab0)的離心率e＝，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)Q(0，2)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若x軸上的一點(diǎn)E滿足|AE|＝|BE|，試求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：(1)由已知得＝，2c＝2，所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝＋＝1.(2)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為G(x0，y0).設(shè)點(diǎn)E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，則EG⊥AB.由得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，x1＋x2＝－，所以x0＝，y0＝kx0＋2＝，因?yàn)镋G⊥AB，所以kEG＝－，即＝－，所以m＝＝，當(dāng)k0時，9k＋≥2＝12，所以－≤m0；當(dāng)k0時，9k＋≤－12，所以0m≤.綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍為∪.，橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.解：(1)由已知|AB|＝|BF|，得＝a，即4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，所以e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，所以橢圓C的方程可化為＋＝1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1，可得＋＝0，即＋＝0，即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2，所以直線l的方程為y－＝2，即2x－y＋2＝0.聯(lián)立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0.則Δ＝322＋1617(b2－4)0?b，x1＋x2＝－，x1x2＝.因?yàn)镺P⊥OQ，＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，從而－＋4＝0，解得b＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.綜上，直線l的方程為2x－y＋2＝0，橢圓C的方程為＋y2＝1.
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