20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧圓錐曲線的綜合問題最值范圍證明問題-學(xué)案-資料下載頁
2025-04-03 03:00本頁面
【正文】 F任作一直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且|MN|的最大值為4.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，若直線AM，AN分別交直線x＝2a于P，Q兩點(diǎn)，求證：PF⊥QF.【解】 (1)依題意知2a＝4，＝，即a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所求橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：由(1)知A(－2,0)，F(xiàn)(1,0)．(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨取M，N，直線AM：y＝(x＋2)，所以P(4,3)．同理Q(4，－3)，所以＝(3,3)，＝(3，－3)，所以＝0，所以PF⊥QF.(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(4，y3)，Q(4，y4)．由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.由A，M，P三點(diǎn)共線得y3＝，同理y4＝，所以P，Q，所以＝，＝，所以＝9＋＝9＋＝9＋＝9＋＝0，所以PF⊥QF.綜上，PF⊥QF.方法技巧第圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、要多采用直接證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段MF為直徑的圓與x軸相切．(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)設(shè)T是E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，OT的平行線l交E于A，B兩點(diǎn)，交曲線E在T處的切線于點(diǎn)N，求證：|NT|2＝|NA||NB|.解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镕，所以MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)橐跃€段MF為直徑的圓與x軸相切，所以＝，即|MF|＝，故 ＝，得x2＝2y，所以M的軌跡E的方程為x2＝2y.(2)證明：因?yàn)門是E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，所以由(1)得T(2,2)，所以直線OT的斜率為1.因?yàn)閘∥OT，所以可設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，m≠0.由y＝x2，得y′＝x，則曲線E在T處的切線的斜率為y′|x＝2＝2，所以曲線E在T處的切線方程為y＝2x－2.由得所以N(m＋2,2m＋2)，所以|NT|2＝[(m＋2)－2]2＋[(2m＋2)－2]2＝5m2.由消去y，得x2－2x－2m＝0，由Δ＝4＋8m0，解得m－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，x1x2＝－2m.因?yàn)镹，A，B在l上，所以|NA|＝|x1－(m＋2)|，|NB|＝|x2－(m＋2)|，所以|NA||NB|＝2|x1－(m＋2)||x2－(m＋2)|＝2|x1x2－(m＋2)(x1＋x2)＋(m＋2)2|＝2|－2m－2(m＋2)＋(m＋2)2|＝2m2，所以|NT|2＝|NA||NB|.
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