嘔心整理圓錐曲線中的7類最值問題-資料下載頁(yè)
2025-03-24 23:43本頁(yè)面
【正文】 ∴，∴又∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的坐標(biāo)是或 ，所求方程為（借助平面向量，將三角形、圓錐曲線最值、求曲線方程、基本不等式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來，綜合考察學(xué)生應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題的能力）（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）（三角形問題、直線方程、最值問題、函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用）例5：、是經(jīng)過橢圓 右焦點(diǎn)的任一弦，若過橢圓中心Ｏ的弦，求證：：是定值解析：對(duì)于本題，,分別為中心弦和焦點(diǎn)弦，可將其傾斜角退到0176。，此時(shí)有，,（定值）．下面再證明一般性．設(shè)平行弦、的傾斜角為，則斜率，的方程為代入橢圓方程，又∵即得 ，另一方面，直線方程為．同理可得 由可知（定值）關(guān)于②式也可直接由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得到．（從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無關(guān)。）3．過拋物線y2＝2px(p0)上一定點(diǎn)M(x0，y0)(y0≠0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，當(dāng)MA與MB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則等于( )A．－2 B．2C．4 D．－4答案 A解析 kMA＝＝＝＝(y0≠y1)，同理：kMB＝.由題意：kMA＝－kMB，∴＝－，∴y1＋y0＝－(y2＋y0)，y1＋y2＝－2y0，∴＝－2，故選A.4．(2011福州質(zhì)檢)已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是( )A．5 B．8C.－1 D.＋2答案 C解析 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.二、填空題5．已知點(diǎn)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值為________．答案 4解析 依題意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由拋物線的定義知|MF|等于點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為5，因此所求的最小值為4.6．若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線y2＝－4x(y≥0)上，則△PAB的面積的最小值為________．答案 2解析 由題意，得F(1,0)，直線AB的方程為y＝x－，得x2－6x＋1＝(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝＝(－，y0)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為，∴△PAB的面積S＝＝≥2，即△PAB的面積的最小值是2. 專業(yè)整理分享
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