圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型-資料下載頁
2025-03-25 00:03本頁面
【正文】 直徑所對圓周角為直角。例題2：如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側(cè)的一點，且滿足。（1）求橢圓的方程以及點的坐標；（2）過點作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點。求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標。解：（1），設，由有，又，于是，又，又，橢圓，且。（2）方法1：，設，由，由于（*），而由韋達定理：，，設以線段為直徑的圓上任意一點，由有由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點。法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1,0）。接下來用相似證明PF⊥FQ。問題得證。練習：（10廣州二模文）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點,圓與軸交于兩點，且.（1）求橢圓的方程；（2）證明:無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.（1）解法1：∵拋物線的焦點坐標為，∴點的坐標為.∴橢圓的左焦點的坐標為，由拋物線的定義可知,∵,∴，且,得.∴點的坐標為. 在橢圓:中，.∴.∴橢圓的方程為.解法2：∵拋物線的焦點坐標為，∴點的坐標為.∴ ，由拋物線的定義可知,∵,∴，且得.∴:中，.由解得.∴橢圓的方程為.（2）證法1: 設點的坐標為,圓的半徑為， ∵ 圓與軸交于兩點，且,∴ .∴. ∴圓的方程為. ∵ 點是拋物線上的動點,∴ ().∴.把代入 消去整理得:. 方程對任意實數(shù)恒成立，∴ 解得∵點在橢圓:上,∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.證法2: 設點的坐標為,圓的半徑為， ∵ 點是拋物線上的動點,∴ ().∵ 圓與軸交于兩點，且,∴ .∴ . ∴ 圓的方程為. 令,則,.由解得∴圓:與橢圓的兩個交點為、.分別把點、代入方程進行檢驗，可知點恒符合方程，點不恒符合方程.∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. 1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學習
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