專題-橢圓中的定點定值問題-資料下載頁
2025-03-24 05:51本頁面
【正文】 使得直線NA與NB的斜率之積為定值．18．在平角坐標系中，橢圓的離心率，且過點，橢圓的長軸的兩端點為，點為橢圓上異于，的動點，定直線與直線，分別交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在定點經(jīng)過以為直徑的圓，若存在，求定點坐標；若不存在，說明理由．解：（1），∴橢圓的方程為；設(shè)，的斜率分別為，，則，，由：知，由：知，∴的中點，∴以為直徑的圓的方程為，令，∴，∴，∴，即，解得或，∴存在定點，經(jīng)過以為直徑的圓．19．如圖，在平面直角坐標系中，已知、分別是橢圓的左、右焦點，分別是橢圓的左、右頂點，為線段的中點，且．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動點（異于點、），連接并延長交橢圓于點，連接、并分別延長交橢圓于點，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、．試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）∵，∴，∵，化簡得，點為線段的中點，∴，從而，左焦點，故橢圓的方程為；（2）存在滿足條件的常數(shù)，設(shè)，，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，∵，∴，從而，故點， 同理，點，∵三點共線，∴，從而，從而，故，從而存在滿足條件的常數(shù)，．20．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，直線與軸交于點，與橢圓交于兩點．xOy BPEA （1）若點的坐標為，點在第一象限且橫坐標為，連結(jié)點與原點的直線交橢圓于另一點，求的面積；（2）是否存在點，使得為定值？若存在，請指出點的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由．解：（1）將代入，解得，因點在第一象限，從而，由點的坐標為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過原點，于是，所以直線的方程為，所以點到直線的距離， （2）假設(shè)存在點，使得為定值，設(shè)，當直線與軸重合時，有當直線與軸垂直時，由，解得，所以若存在點，此時，為定值2．根據(jù)對稱性，只需考慮直線過點，設(shè)，又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，化簡得，所以，又，所以，將上述關(guān)系代入，化簡可得．綜上所述，存在點，使得為定值2．21．已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明直線與軸相交于定點．解：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．…4分⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．⑶設(shè)點，則，直線的方程為， 令，得，將代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點．22．已知橢圓的中心在坐標原點，短軸長為4，且有一個焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓的方程；（2）已知過定點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，試問在軸上是否存在一個定點使得始終平分？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為橢圓的短軸長為4，又拋物線的焦點為，則所求橢圓方程為；（2）設(shè)代入橢圓方程整理得：，則假設(shè)存在定點使得平分，則①要使得①對于恒成立，則，故存在定點使得平分，坐標為．23．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，連接分別交直線于兩點，若直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．解：（1）由題意得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，直線的方程為，由，由三點共線可知同理可得，所以．
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