高考圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題(題型總結(jié)超全)-資料下載頁(yè)
2025-08-05 19:26本頁(yè)面
【正文】 這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．17．【南寧市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（l）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由焦半徑定義和點(diǎn)在拋物線上建立兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，可求得拋物線方程。（2）由（1）知拋物線的方程，及，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為,代入得,由韋達(dá)定理可求得為定值上。（2）∵點(diǎn)在拋物線上，且.∴∴，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，代入得，設(shè)，則，所以.18．如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（）求橢圓的方程．（）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）．（）斜率之和為定值．【解析】（1）根據(jù)題意知：，結(jié)合，解得：，，∴橢圓的方程為：．從而直線，的斜率之和：．故直線、斜率之和為定值．點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．19．【廣西柳州市2018屆高三畢業(yè)班上學(xué)期摸底聯(lián)考】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.（1）求該拋物線的方程；（2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.【答案】（1）.（2）【解析】試題分析：(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求。(2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點(diǎn).（2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ，聯(lián)立，得，則①.設(shè)，則.∴，即或，代人①式檢驗(yàn)均滿足，∴直線的方程為： 或.∴直線過定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿足題意，故舍去）. 點(diǎn)睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化．20．【云南省昆明一中2018屆高三第一次摸底測(cè)試】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析.【解析】試題分析：（1）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，從而可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，直線的方程為，即可證明其過定點(diǎn).所以， ， 直線的方程為： ，所以，令，則，所以直線與軸交于定點(diǎn). 專業(yè) 知識(shí)分享
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