圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題的解題策略(解析版)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:30本頁(yè)面
【正文】 率為，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)P，Q是直線l上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問(wèn)：直線PM于QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】（1），；（2）；（3）與的交點(diǎn)恒在直線上，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意，橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，可得且，又由，解得，即橢圓的方程為，又由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，所以.（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，解得， 當(dāng)時(shí)，可得直線；當(dāng)時(shí)，可得直線；所以直線的方程為.（3）設(shè)，可得，設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，又由直線，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以與的交點(diǎn)恒在直線上.（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，直線與軸的正半軸和軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，各點(diǎn)互不重合，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的方程為，求的值；（3）若，試證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析，.【詳解】（1）由題意，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，可得，設(shè)焦距為，又由長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，可得，即又因?yàn)?，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線的方程為，可得而，設(shè)，因?yàn)?，可得，從而，于是，所以，由，整理得，可得，所?（3）顯然直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，可得，由，可得， 所以，從而，同理，又，∴，聯(lián)立，得，則，且③代入①得，∴，(滿足②)故直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2020湖北高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)，若平面上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離之和等于7.（1）求拋物線的方程；（2）又已知點(diǎn)為拋物線上任一點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交拋物線于另一點(diǎn)，連接 問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)，否則說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，.【詳解】(1)由已知，定點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離之和等于7.有，則，即拋物線的方程(2)設(shè)，，則，同理：，由知：，即 ①直線，即過(guò)求得 ②同理求直線方程 ③由①②得代入③得故且時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn).（2021北京高三期末）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.②若直線的斜率存在時(shí)，如圖..聯(lián)立方程組消去，整理得.，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點(diǎn)在直線上.（2021安徽高三月考（理））已知圓，橢圓的左右焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓和圓所截得弦長(zhǎng)分別為1和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)P分別作橢圓兩條切線切橢圓于A，B兩點(diǎn)．（?。┤糁本€的斜率為2，求直線的斜率；（ⅱ）作于點(diǎn)Q，求證：是定值．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）由題意得：，解得得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （2）（?。┰O(shè)，切線，則由化簡(jiǎn)得由得設(shè)切線的斜率分別為則又直線的斜率為2，則直線的斜率為（ii）當(dāng)切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)，切線方程為并由（ⅰ）得（*）又A，B點(diǎn)在橢圓上，得代入（*）得，即切線的方程為又過(guò)P點(diǎn)，則所以直線方程為，由得直線方程為聯(lián)立直線方程為，解得，由得Q點(diǎn)軌跡方程為，且焦點(diǎn)恰為，故，當(dāng)切線的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，如斜率不存在，則，，直線方程為，方程為，可解得，點(diǎn)也在橢圓上，若，同理可得．綜上得．
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