圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略(解析版)-展示頁
2025-04-03 03:30本頁面
【正文】 含，兩點(diǎn)；（2）①證明見解析；②證明見解析.【詳解】（1）解：由題意，得，化簡，得，所以曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含，兩點(diǎn).（2）證明：①由題設(shè)知，直線，的斜率存在且均不為0.設(shè)直線的方程為，由，可知直線的斜率為，方程為.由得，解得，則，即.直線的斜率為，則直線的方程為，將代入，解得，故點(diǎn)在直線上.②由（1），得，所以.結(jié)合，.解題思路：①設(shè)直線的方程，由，可得直線方程，與橢圓聯(lián)立可求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線方程，與聯(lián)立即可得證點(diǎn)在定直線上；②由（1）得，又，進(jìn)而可得直線與直線的斜率之積.例（2021全國高三模擬）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，焦距為4.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，且在第一象限，直線與的傾斜角分別為，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，所以，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知雙曲線的方程為，所以左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以；當(dāng)，.因?yàn)椋?，又由點(diǎn)在第一象限，易知，所以.綜上，的值為.解題思路：利用點(diǎn)在雙曲線上，滿足，利用整體代換思想求出和相反.例3：（2021圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略在圓錐曲線中有一類曲線，當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身性質(zhì)不變或形態(tài)發(fā)生變化時(shí)，其某些共同的性質(zhì)始終保持不變，解題過程中應(yīng)注重解題策略，善于在動點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性.題型一：定值問題解答圓錐曲線定值問題的策略：把相關(guān)幾何量用曲線系的參變量表示，“方程鋪路、參數(shù)搭橋”，解題的關(guān)鍵是對問題進(jìn)行綜合分析，挖掘題目中的隱含條件，恰當(dāng)引參，巧妙化歸.把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)，即特殊到一般的思想.兩點(diǎn)間的距離為定值例1：（2021廣東中山市高三期末）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限)，過原點(diǎn)作直線的平行線與直線相交于點(diǎn)，問：線段的長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【詳解】（1）由題意知∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，題意可知，切線的方程為，過原點(diǎn)且與平行的直線的方程為，橢圓的右焦點(diǎn)，所以直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以為定值.解題思路：設(shè)動點(diǎn)，由題意可知，切線的方程為，過原點(diǎn)且與平行的直線的方程為，求出的坐標(biāo)，表示出的長，再化簡即可. 求某一代數(shù)式為定值例2：（2021安徽安慶市高三一模（理））已知橢圓，過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)M，三角形MFO的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作直線l垂直于x軸，直線MA?MB交橢圓分別于A?B兩點(diǎn)，且兩直線關(guān)于直線l對稱，求證∶直線AB的斜率為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）直線過左焦點(diǎn)，所以，又由可知從而橢圓經(jīng)過點(diǎn)由橢圓定義知，即故橢圓的方程為.（2）由條件知，直線斜率存在，且兩直線斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，由得從而有，即，故，同理可得，即證直線的斜率為定值，且為.解題思路：將直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再將中的用替換，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率公式，化簡，即可.例4.（2021江蘇南通市高三期末）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，且過點(diǎn)，所以，又，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)锽，M，N三點(diǎn)共線，所以，所以，又因?yàn)锳，B點(diǎn)在橢圓上，所以，又因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓上，所以，即，所以，解得，所以,則，所以為定值.解題思路：設(shè)，根據(jù)為線段的中點(diǎn)和B，
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