高考圓錐曲線中的定點(diǎn)及定值問題-展示頁
2025-04-26 12:58本頁面
【正文】 過作的垂線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1) ?！?。設(shè)直線方程為，由 ，解得，∴。(2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a，b，c；（2）對于AB有無斜率進(jìn)行討論，設(shè)出A，B坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 ， 當(dāng)AB的斜率不存在時, ,可得, . 點(diǎn)睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想，對于這類題目要掌握解題方法．設(shè)而不求，套用公式解決．7．【四川省成都市石室中學(xué)20172018學(xué)年高二10月月考】已知雙曲線漸近線方程為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知為雙曲線上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】試題分析：（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)可求得。（1）將代入，得，可得拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，將它代入得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式以及的重心的縱坐標(biāo)，化簡可 的值；因?yàn)榈闹匦牡目v坐標(biāo)為，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．已知橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求證： 為定值．【答案】(1) 。（2）直線過定點(diǎn)【解析】試題分析：（1）根據(jù)弦長公式即可求出答案；（2）由（1）可設(shè)，則，則；同理： .由在直線上（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，即可得出直線過定點(diǎn)．（2）設(shè)，則，則即；同理： ；.由在直線上，即（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，易得直線過定點(diǎn)3．【四川省成都市第七中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知拋物線過點(diǎn)， 是上一點(diǎn)，斜率為的直線交于不同兩點(diǎn)（不過點(diǎn)），且的重心的縱坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記直線的斜率分別為，求的值.【答案】（1）方程為。解得。 WORD資料可編輯 專題08 解鎖圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題一、解答題1．【陜西省榆林市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個頂點(diǎn)，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計算得 。設(shè)x軸上的定點(diǎn)為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點(diǎn)坐標(biāo)?！鄼E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）證明：由題意設(shè)直線的方程為，由消去y整理得，設(shè)，要使其為定值，需滿足，解得.故定點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：解析幾何中定點(diǎn)問題的常見解法(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意．2．【四川省成都市第七中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線（為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時，弦的長為.（1）求拋物線的標(biāo)
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