圓錐曲線解答題中的定點和定值問題的解題策略(解析版)-全文預(yù)覽
【正文】 )，故故點T恒在一定直線上.解題思路：設(shè)出直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理求出的直線方程，聯(lián)立求出交點縱坐標(biāo)為3，進(jìn)而可得結(jié)果. 圓過定點問題例1（2021湖北襄陽市高三期末）已知，分別為橢圓的左?右頂點，為的上頂點，.（1）求橢圓的方程；（2）過點作關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【詳解】解：（1）由題意得，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由得，∴，因為關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點.解題思路：設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，又因為關(guān)于軸對稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計算化簡即可求得定點.例1（2021①，②①②兩式相除得，又，故，所以，故.所以③由題意知直線不平行于x軸，由于直線經(jīng)過F點，所以設(shè)直線的方程為，（直線的方程為，可避免討論直線的斜率是否存在，簡化計算，提高正確率）代入整理，得，把代入③，所以所以解得.所以點T橫坐標(biāo)為定值.解題思路：設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)在橢圓C上，代入方程化簡整理可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓C聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，代入上式即可.例（2021河南高三月考（理））已知點，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么樣的曲線；（2）設(shè)，是曲線上的兩個動點，直線與交于點，.①求證：點在定直線上；②求證：直線與直線的斜率之積為定值.【答案】（1），曲線為中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，不含，兩點；（2）①證明見解析；②證明見解析.【詳解】（1）解：由題意，得，化簡，得，所以曲線為中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，不含，兩點.（2）證明：①由題設(shè)知，直線，的斜率存在且均不為0.設(shè)直線的方程為，由，可知直線的斜率為，方程為.由得，解得，則，即.直線的斜率為，則直線的方程為，將代入，解得，故點在直線上.②由（1），得，所以.結(jié)合，.解題思路：①設(shè)直線的方程，由，可得直線方程，與橢圓聯(lián)立可求點坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線方程，與聯(lián)立即可得證點在定直線上；②由（1）得，又，進(jìn)而可得直線與直線的斜率之積.例（2021圓錐曲線解答題中的定點和定值問題的解題策略在圓錐曲線中有一類曲線，當(dāng)參數(shù)取不同值時，曲線本身性質(zhì)不變或形態(tài)發(fā)生變化時，其某些共同的性質(zhì)始終保持不變，解題過程中應(yīng)注重解題策略，善于在動點的“變”中尋求定值的“不變”性.題型一：定值問題解答圓錐曲線定值問題的策略：把相關(guān)幾何量用曲線系的參變量表示，“方程鋪路、參數(shù)搭橋”，解題的關(guān)鍵是對問題進(jìn)行綜合分析，挖掘題目中的隱含條件，恰當(dāng)引參，巧妙化歸.把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)，即特殊到一般的思想.兩點間的距離為定值例1：（2021安徽安慶市高三一模（理））已知橢圓，過橢圓左焦點F的直線與橢圓C在第一象限交于點M，三角形MFO的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M作直線l垂直于x軸，直線MA?MB交橢圓分別于A?B兩點，且兩直線關(guān)于直線l對稱，求證∶直線AB的斜率為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）直線過左焦點，所以，又由可知從而橢圓經(jīng)過點由橢圓定義知，即故橢圓的方程為.（2）由條件知，直線斜率存在，且兩直線斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線交橢圓于點，直線交橢圓于點，由得從而有，即，故，同理可得，即證直線的斜率為定值，且為.解題思路：將直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點的坐標(biāo)，再將中的用替換，即可求出點坐標(biāo)，再利用斜率公式，化簡，即可.例4.（2021江蘇鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）已知橢圓離心率為，點A，B，D，E分別是C的左，右，上，下頂點，且四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知F是C的右焦點，過F的直線交橢圓C于P，Q兩點，記直線，的交點為
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1