圓錐曲線解答題專題三：面積問(wèn)題(解析版)-展示頁(yè)
2025-04-03 02:57本頁(yè)面
【正文】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)，的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）∵，且，解得，所以橢圓的方程為：.（2），設(shè)，已知直線的斜率不為，設(shè)直線，聯(lián)立，得，故， ，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的方程為或.解題思路:（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合基本不等式，可得答案.例5.（2021河北邯鄲市高三期末）已知橢圓長(zhǎng)軸的左?右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：與的斜率之積為常數(shù)，并求出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，且，當(dāng)為何值時(shí)的面積最大?【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【詳解】（1）設(shè)，由已知， ，即，，設(shè)，即，∴軌跡的方程為. （2）將直線代入曲線中整理得，到的距離，此時(shí)，滿足.解題思路：（1）設(shè)，代入橢圓方程可得，再由題意可得，設(shè)，直接列方程即可求解.（2）將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到的距離，利用基本不等式即可求解.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直接法動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，解題的關(guān)鍵是求出，考查了弦長(zhǎng)公式以及計(jì)算能力. 正弦面積公式例3.（2021圓錐曲線解答題中的面積問(wèn)題的解題策略圓錐曲線解答題中的面積問(wèn)題主要可分為四類方法： 常規(guī)面積公式例1.（2021山西運(yùn)城市高三期末（理））已知A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，C為E的上頂點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）若M，N，P是橢圓E上不同的三點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O為的重心，試探究的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）的面積為定值．【詳解】（1），則，因?yàn)?，所以，得．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以．由M，N，P在橢圓上，所以且，解得．易知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，則，．因?yàn)闉榈闹匦?，所心，因?yàn)镻在橢圓上，故，化簡(jiǎn)得．，點(diǎn)P到直線的距離d等于O到直線距離的3倍，所以，所以，綜上，的面積為定值．解題思路：（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)計(jì)算的面積，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得，計(jì)算弦長(zhǎng)，點(diǎn)P到直線的距離，計(jì)算即可求解.例2.（2020東北三省（哈爾濱師大附中、東北師范大學(xué)、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）高三聯(lián)考）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn).（1）求證：點(diǎn)在一定直線上；（2）設(shè)直線分別交直線于點(diǎn).（i）求證：；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，記，求的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【詳解】（1）由題意，設(shè)，代入得：，令，則.拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，聯(lián)立得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.∴點(diǎn)在定直線上.（2）（i）聯(lián)立與得：，聯(lián)立與得：，由（1）知：，軸，同理軸，即，即且，∴得證.（ii）由（1）得：
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