圓錐曲線解答題專題三：面積問題(解析版)-展示頁
2025-04-03 02:57本頁面
【正文】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)，的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）∵，且，解得，所以橢圓的方程為：.（2），設(shè)，已知直線的斜率不為，設(shè)直線，聯(lián)立，得，故， ，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的方程為或.解題思路:（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合基本不等式，可得答案.例5.（2021河北邯鄲市高三期末）已知橢圓長軸的左?右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：與的斜率之積為常數(shù)，并求出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，且，當(dāng)為何值時(shí)的面積最大?【答案】（1）證明見解析，；（2）.【詳解】（1）設(shè)，由已知， ，即，，設(shè)，即，∴軌跡的方程為. （2）將直線代入曲線中整理得，到的距離，此時(shí)，滿足.解題思路：（1）設(shè)，代入橢圓方程可得，再由題意可得，設(shè)，直接列方程即可求解.（2）將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到的距離，利用基本不等式即可求解.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直接法動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，解題的關(guān)鍵是求出，考查了弦長公式以及計(jì)算能力. 正弦面積公式例3.（2021圓錐曲線解答題中的面積問題的解題策略圓錐曲線解答題中的面積問題主要可分為四類方法： 常規(guī)面積公式例1.（2021山西運(yùn)城市高三期末（理））已知A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，C為E的上頂點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）若M，N，P是橢圓E上不同的三點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O為的重心，試探究的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）的面積為定值．【詳解】（1），則，因?yàn)?，所以，得．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以．由M，N，P在橢圓上，所以且，解得．易知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，則，．因?yàn)闉榈闹匦?，所心，因?yàn)镻在橢圓上，故，化簡得．，點(diǎn)P到直線的距離d等于O到直線距離的3倍，所以，所以，綜上，的面積為定值．解題思路：（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)計(jì)算的面積，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得，計(jì)算弦長，點(diǎn)P到直線的距離，計(jì)算即可求解.例2.（2020東北三?。ü枮I師大附中、東北師范大學(xué)、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）高三聯(lián)考）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn).（1）求證：點(diǎn)在一定直線上；（2）設(shè)直線分別交直線于點(diǎn).（i）求證：；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，記，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）由題意，設(shè)，代入得：，令，則.拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，聯(lián)立得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.∴點(diǎn)在定直線上.（2）（i）聯(lián)立與得：，聯(lián)立與得：，由（1）知：，軸，同理軸，即，即且，∴得證.（ii）由（1）得：
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