圓錐曲線中點弦問題-展示頁
2025-04-03 00:02本頁面
【正文】 。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，消去y得，即，所以，即中點坐標(biāo)為。解法二：設(shè)弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ中點M的軌跡方程為 （）。解法一：設(shè)弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），則另一個交點為B(4)，因為A、B兩點在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。解法一：設(shè)所求直線方程為y1=k(x2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。其解法有代點相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。.. . . ..關(guān)于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標(biāo)問題。一、求中點弦所在直線方程問題例1 過橢圓內(nèi)一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，又A、B兩點在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。二、求弦中點的軌跡方程問題例2 過橢圓上一點P（8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。化簡可得 （）。三、弦中點的坐標(biāo)問題例3 求直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)。
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